Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
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Satz 2: Besitzen zwei lineare partielle Differentialgleichungen AJ = 0 
und A 2 f = 0 eine gemeinsame Lösung, so befriedigt dieselbe auch die 
durch Klammeroperation entstehende Gleichung 
(A 1 A 2 ) = A x (A 2 f) A 2 (AJ) = 0, 
(Offenbar gilt dieser von Jacobi herrührende Satz nicht nur für 
drei Veränderliche, sondern allgemein. Daher haben wir ihm auch 
seine allgemeinere Fassung gegeben.) 
Jetzt haben wir drei lineare partielle Differentialgleichungen in 
drei Veränderlichen vor uns: 
AJ = 0, AJ-O, {A i f,A,f) = 0. 
Sie besitzen die gemeinsame Lösung u. Nach Satz 1 des § 2 besteht 
also zwischen ihren linken Seiten eine lineare Relation. Dieselbe 
enthält sicher den Klammerausdruck (A 1 A 2 ), sobald wir voraussetzen, 
dass A 1 f=0 und A 2 f — 0 von einander unabhängig sind, d. h. keine 
Relation zwischen AJ' und A 2 f allein besteht. Wir können demnach 
jene Relation so schreiben: 
(^1^2) — Qi -f- Q^A 2 f. 
Also ergiebt sich: 
Satz 3: Haben zwei (-unabhängige) lineare partielle Differential 
gleichungen A x f — 0 und A 2 f = 0 in drei Veränderlichen eine gemein 
same Lösung, so besteht eine Relation von der Form: 
OM2) = 0iO»,«/, *)Af + 02 V, ¿)Af 
identisch für alle Werte von f 
Wir werden nun erkennen, dass umgekehrt die Existenz einer 
solchen Relation 
(8) (A t A 2 ) = q x AJ -(- q 2 Af 
nach sich zieht, dass AJ’= 0 und A 2 f = 0 eine gemeinsame Lösung 
besitzen. 
Um dies nachzuweisen, werden wir die beiden Gleichungen A x f = 0 
und A 2 f =0 in besonderer Form schreiben. Zunächst können wir 
sie allgemein durch zwei Gleichungen 
(0) l t f=i i A i f+3i,A i f=0, A 1 f= iil A 1 f+fiA.J=0 
ersetzen, sobald A 1 g 2 — A^eIeO ist. Dann ist: 
(Ajf,A 2 f) = (A l A 1 -j-/i 2 A 2 , g 1 A 1 + ^2^2) 
= Aj fi x (A x Af) -j- A x p 2 (A x A 2 ) -{- A 2 fi x (A 2 Af) -j- A 2 g 2 (A 2 A 2 ) -f- 
+ (^i • (A x • A lt i 2 -f- A 2 • A 2 g 2 )A 2 f— 
(ih ’ + i w 2 ’ ^¿Äf) A x f ([i x - A x A 2 g 2 • A 2 L 2 ) A 2 f.