Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
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Ä 2 a(u, v) == tp(u, v) H -f Tl>{u, V) ^ • 
Die Forderung, welche wir noch zu erfüllen haben, stellt sich also 
so dar: 
<P( U > ~8u + ^ äF = °- 
Dies ist eine lineare partielle Differentialgleichung in u, v allein 
und lässt sich als solche stets durch eine Function £i{ii,v) befriedigen, 
nämlich durch das Integral der zugehörigen gewöhnlichen Differential 
gleichung 
du 
<p(u, V) 
dv 
ip(u, V) 
Es giebt also eine Function ß, welche beide Gleichungen A x f— 0 
und A 2 f = 0 befriedigt. Sie ist die gesuchte gemeinsame Lösung 
der beiden Gleichungen ^/‘=0 und Ä 2 f — 0. 
Um noch zu sehen, dass sich ein System von zwei Gleichungen 
A x f — 0 und A 2 f = 0, deren Klammerausdruck 
A 2 ) = Pi A } f -f- g 2 A 2 f 
ist, stets in solcher Form A 1 f=0, A 2 f = 0 schreiben lässt, in der 
(A 1 Ä 2 ) = 0 ist, brauchen wir uns nur das System A x f = 0 und A 2 f — 0 
nach und ~ aufgelöst zu denken, sodass etwa: 
df 
Jf=Vf 
dz 
= 0, 
8f 
dy 
2 dz 
ist. und ö 2 bedeuten hier gewisse Functionen von x, y, z. Nach 
Voraussetzung muss auch jetzt eine Relation bestehen, welche (A X A 2 ) 
linear durch A x f und A 2 f ausdrückt. Bildet man aber den Klammer- 
df 
df 
, also, da er 
ausdruck, so erkennt man, dass er frei von -5— und „ 
7 7 dx dy 
die Form X x A x f -1- l 2 Ä 2 f haben muss, gleich Null wird, wie gewünscht 
wurde. 
Liegen zwei Gleichungen A x f — 0 und A 2 f — 0 vor, deren 
Klammerausdruck die Form Q x A x f -j- Q->A 2 f hat, so können wir sie 
nach der eben gegebenen Methode der Auflösung stets in einer Form 
A x f = 0, A 2 f — 0 schreiben, in der (A 1 A 2 ) = 0 ist. Alsdann aber 
besitzen, wie vorher bewiesen, A x f = 0 und A 2 f — 0 oder also A x f= 0 
und A 2 f — 0 eine gemeinsame Lösung. Somit gilt das