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Kapitel 10, § 3. 
Theorem 12: Sind A L f — 0 und A 2 f = 0 zwei lineare partielle 
Differentialgleichungen in x, y, z, so besitzen sie dann und nur 
dann eine gemeinsame Lösung, ivenn eine Delation von der 
Form 
(Ai A) = i>iO; V, ¿)A x f + i> 2 0> V, ¿) Af 
identisch für jede Function f besteht. 
Man nennt in diesem Falle die beiden Differentialgleichungen 
gls System’-^-i = 0 un d — 0 zusammen ein (ziveigliedriges) vollständiges 
System. Der Begriff eines vollständigen Systems ist allerdings um 
fassender, da er nicht auf den Fall dreier Veränderlicher beschränkt 
ist. Wir werden ihn auf einer späteren Stufe in voller Allgemeinheit 
kennen lernen. Im besonderen heisst das vollständige System A x f= 0, 
A 2 f = 0 auch ein Jacobi’sches System, wenn der Klammerausdruck 
{A 1 Af) = 0 ist. Wir haben gesehen, dass jedes vollständige System 
A x f — 0, A 2 f — 0 als Jacobi’sches geschrieben werden kann. 
Die Lösung des vollständigen Systems, d. h. die gemeinsame 
Lösung der Gleichungen A x f = 0 und A 2 f — 0 bestimmt man, um 
es zu recapitulieren, in dieser Weise: Vorerst schreibt man das System 
in einer Form A x f = 0, A 2 f — 0, in der (A x Af) = 0 ist. Man sucht 
dann die allgemeine Lösung Slfa, v) der Gleichung A x f — 0 und bildet 
A 2 £l = 0. Diese Gleichung ist dann stets eine lineare partielle Dif 
ferentialgleichung zwischen Si und u, v allein, deren Lösung Si die 
gesuchte Function ist. Offenbar ist mit Si auch jede Function cP(ii) 
Lösung des vollständigen Systems*). 
Wenn die Jacobfsche Form A x f■== 0, A 2 f — 0 im besonderen 
durch die obige Auflösungsmethode erhalten ist, wenn also 
T f— df ■ df q 
A A — dx + dz 7 
Ä f=— A- 6 — — 0 
A A — dy + dz ~ ü 
ist, was stets zu erreichen, so vereinfacht sich die Integration noch 
etwas. A x f — 0 ist nämlich dann äquivalent der gew. Differential 
gleichung in zwei Veränderlichen x, z: 
dx dz 
~T —faf’ 
*) Die Theorie der vollständigen Systeme, die von Jacobi und Clebsch 
herrührt, hat durch Herrn Mayer ihre jetzige einfache Form erhalten.