Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
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genügen, d. h. sie ist gleich x 2 -f- y 2 zu setzen. Also giebt 
x 2 y 2 — Const. 
die Integralflächen des vollständigen Systems. Geometrisch: Die Cha 
rakteristiken von Ayf = 0 sind die Parallelen zur z-Axe, also die 
Integralflächen von A 1 f — 0 die Cylinder parallel dieser Axe. Die 
Charakteristiken von A 2 f = 0 sind, wie wir schon in einem früheren 
Beispiel sahen (1. Beispiel des § 1), die Kreise, deren Mittelpunkte 
auf der z-Axe liegen und deren Ebenen zu dieser senkrecht stehen. 
Die Integralflächen von Ä 2 f = 0 sind folglich die Rotationsflächen 
um die z-Axe. Gemeinsame Integralflächen beider Differentialglei 
chungen können also nur die Rotationscylinder um die z-Axe sein: 
x 2 + y 2 — Const. 
Die totale Differentialgleichung lautet hier 
xdx -f- ydy — 0 
und giebt in der That sofort 
x 2 -f- y 2 — Const. 
3. Beispiel: 
Sei 
AJ=x 
11 ex 
+ 0 
df 
dz ? 
ä n df , df . 0 df 
A *f= x J^ + y dy + 20 dz’ 
sodass (A 1l A 2 ') = 0, d. h. A x f = 0, A 2 f — 0 ein vollständiges System 
ist. Wir werden, um die Integralflächen derselben zu finden, gut 
thun, statt A 2 f — 0 die einfachere Gleichung 
Ä 2 f=A 2 f — AJ=y^ + = 0 
zu benutzen. A t f — 0 hat zu Charakteristiken alle Geraden parallel 
der (a;^)-Ebeue, welche die y-Axe schneiden, A 2 f = 0 alle Geraden 
parallel der (yz) -Ebene, welche die x-Axe schneiden. Die Integral 
flächen von A t f = 0 sind somit die Regelflächen, welche durch Gleiten 
einer der (xz)-Ebene beständig parallelen Geraden längs der y-Axe 
entstehen. Analog sind die Integralflächen von A 2 f = 0 gewisse 
Regelflächen. Soll eine Fläche Integralfläche des vollständigen Systems 
sein, so muss sie sowohl oo 1 Geraden durch die y-Axe parallel der 
(«0)-Ebene als auchoo 1 Geraden durch die^-Axe parallel der (?/^)-Ebene 
enthalten. Daher ist die Fläche, wie man elementar eiusehen kann, 
ein hyperbolisches Paraboloid: 
— == Const. 
z