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Kapitel 11, § 1. 
Trans 
formation. 
Kapitel 11. 
Eingliedrige Gruppe in drei Veränderlichen. 
Um die Theorie der Differentialgleichungen erster Ordnung, welche 
alle Transformationen einer eingliedrigen Gruppe gestatten, zu einem 
befriedigenden Abschlüsse zu bringen, ist es notwendig, zunächst ein 
gliedrige Gruppen in drei Veränderlichen zu betrachten. Der Leser 
wird finden, dass diese Betrachtungen in sehr vielen Punkten nur 
insofern von denen des 2. und 3. Kapitels abweichen, als jetzt die 
Zahl der Veränderlichen 3 statt 2 ist. Es mag deshalb auch gestattet 
sein, die Darstellung möglichst knapp zu fassen und bezüglich der 
ausführlichen Entwickelungen häufig auf jene beiden Kapitel zurück 
zuverweisen. 
§ 1, Definition der eingliedrigen Gruppe im Raume, Existenz einer 
infinitesimalen Transformation derselben. 
Drei Gleichungen von der Form 
(1) x x = cp 0, y, z), y l = cl’ (x, y, z), z x = %(x, y, z), 
von denen vorausgesetzt wird, dass sie auch nach x, y, z auflösbar 
seien, bestimmen allgemein eine Transformation der Veränderlichen 
x, y, z in die neuen Veränderlichen x 1} y 1} z x . Wir fassen sie wie 
früher begrifflich auf als eine Operation, welche alle Punkte (x, y, z) 
des Raumes in neue Punkte {x x , y 1} zf) desselben überführt. Eine 
Fläche wird also durch die Transformation wieder in eine Fläche, eine 
Curve wieder in eine Curve verwandelt. Will man die Gleichung 
der Fläche aufstellen, in welche die gegebene Fläche 
£l{x, y,z) = 0 
vermöge der Transformation übergeht, so hat man hieraus x, y, z 
vermöge der Gleichungen (1) zu eliminieren, wodurch sich die gesuchte 
Gleichung 
W{x x , y 1} zf) = 0 
der transformierten Fläche ergiebt. Man wird also zunächst die 
Gleichungen (1) nach x, y, z auf lösen, dies gebe etwa: 
(2) x = v(x x ,y 1 ,z 1 ), y = ^0 1; y x , zf), z — %(x l} y x , zf), 
und dann diese Werte (2) in ß = 0 einführen: 
W(x 1} y x , zf) = ß(^, i) = 0.