Definition der eingliedrigen Gruppe im Raume. 
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Die Auflösung (2) ist nicht nötig, wenn man umgekehrt nach der 
Fläche fragt, welche vermöge der Transformation (1) in die neue 
Fläche 
W(xi, y lt gj) = 0 
übergeführt wird. Die betreifende Fläche hat offenbar die Gleichung 
in x, y, 0: 
&{x, y, 0) == W(cp, Ifj, x) = 0. 
Die durch Auflösung von (1)" nach den ursprüuglichen Veränder 
lichen x, y, 0 erhaltenen Gleichungen (2) stellen ebenfalls eine Trans 
formation dar und zwar die zu (1) inverse, indem nämlich beide nach 
einander ausgeführt alle Punkte (x, y, 0) des Raumes über die Stellen 
(x t , y x , 0f) in ihre ursprünglichen Lagen (x, y, 0) zurückführen. Die 
Aufeinanderfolge beider Transformationen ist demnach der identischen: 
X = X, y'=y, 0—0 
äquivalent. 
Wenn nun die Gleichungen einer Transformation der Punkte des 
Raumes noch eine willkürlich annehmbare Constante, einen Para 
meter a, enthalten; 
(3) #1 = 9i(x,y,0,a), y l = ^{x i y f 0 i a) J 0 X = %{x, y, 0, a), 
so stellen sie eine Schar von oo 1 Transformationen dar. Insbesondere 
ist es denkbar, dass diese Schar die Gruppeneigenschaft besitzt, d. h. 
dass zwei Transformationen der Schar, wenn man sie nach einander 
auf die Punkte des Raumes ausführt, durch eine einzige Transformation 
derselben Schar ersetzt werden können, welche diese Überführung aus 
den Anfangs- in die Schlusslagen mit einem Schlage leistet. 
Analytisch stellt sich das Kriterium für das Vorhandensein der 
Gruppeneigenschaft so dar: Eine erste Transformation der Schar (3) 
mit beliebig gewähltem Parameterwert a führt die Punkte (x, y, 0) 
des Raumes in die Punkte (x 1} y 1} 0 X ) über, deren Coordinaten durch 
(3) bestimmt werden. Eine nach dieser Transformation (a) der Schar 
ausgeführte Transformation derselben mit dem Parameterwert a x , 
welche die Punkte (x ± , y x , 0 X ) weiterhin in die Lagen (x 3} y 2 , 0 2 ) 
bringt, besitzt die Gleichungen: 
(4) x 2 = <p(x 1 ,y 1 ,0 1 ,a 1 ), y 2 = ^{x 1 ,y 1 ,0 1 ,a 1 ), 0 2 = y x , 0 V af). 
Die Transformation nun, welche die Aufeinanderfolge von (3) und (4) 
ersetzt, wird durch Elimination der Zwischenwerte x x , y 1} 0 X aus (3) 
und (4) bestimmt. Es ergieht sich: 
Inverse 
Transfor 
mation. 
Identische 
Transfor 
mation. 
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