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Kapitel 11, § 1.
= <P (<P {%, V, e, a ), $ 0, V> 8, «); X 0», y, *, a ), a i)
analog:
& = iKw t, h «i).
*2 = X(% h a i)‘
Diese Transformation (5) der Punkte (x, y, z) in die Punkte (x 2 , y 2 , 0 2 )
muss also, wenn die Schar der oo 1 Transformationen eine Gruppe
bilden soll, eine Transformation dieser Schar sein, d. h, es muss ein
Wert A des Parameters existieren, sodass die Gleichungen (5) sich
decken mit:
x 2 = <p{x, y, z, A), y 2 = if,(x, y, z, A), = i{x, y, 0, A);
es muss daher sein:
<p(<p(x, y, e, a), y,(x, y, 0, fl), %(x, y, 0, fl), fl t ) = tp(x, y, 0, A),
H<Pi )> H ); X( ),a 1 ) = ' t p{x,y,0, A),
xi<p( ), K ); %( )> a i) = x(p,y,07
und zwar für alle Werte der Veränderlichen #, y, #. fl und be
deuten hierbei beliebig angenommene Constanten und auch A soll
eine Constante sein. A ist bestimmt, sobald die beiden nach einander
auszuführenden Transformationen (fl) und (af) gegeben sind, d. h. A
ist eine Function von a und a x :
A = A («, cq).
Die Gleichungen (3) stellen demnach dann und nur dann eine Gruppe
dar, wenn es eine Function A von a und fl 1 allein giebt, sodass für
alle Werte von x, y, 0, a und a t die drei letzten Identitäten bestehen.
^G-ruppo^m Insbesondere nennen wir diese Gruppe (3) eine eingliedrige Gruppe,
Baume. we ü g j e e { nen Parameter fl, also oo 1 Transformationen enthält.
Man bemerkt, dass jede eingliedrige Gruppe der Ebene
Xl = cp {x, y, fl), y l =i¡> {x, y, fl)
durch Zufügung von 0 X — 0 eine eingliedrige Gruppe des Raumes wird.
Wir werden nunmehr die eingliedrigen Gruppen im Raume ge
nauer untersuchen und wollen — wie in der Ebeue — immer voraus
setzen, dass die eingliedrige Gruppe auch 0u jeder ihrer Transformationen
die dazu inverse enthalte, d. h. es soll eine Function ä von a geben,
sodass die Aufeinanderfolge der Transformationen mit den Paraméter-
werten fl und ä der identischen Transformation äquivalent ist.
Führen wir nach einander zwei Transformationen der Gruppe
aus. die zu einander invers sind, so ersieht sich die identische Trans-
(5)
und
