fl N«|» 
1 
Ü 
¡t 
! f 
214 
;H!i' ■ | st; 
Kapitel 11, 
Beispiel. 
wo die nicht hingeschriebenen Glieder unendlich klein von höherer 
Ordnung sind. 
Satz 1: Eine eingliedrige Gruppe des Baumes mit paarweis inversen 
Transformationen enthält die identische und sicher auch eine infinitesimale 
Transformation. 
Man kann noch auf einem allgemeineren Wege*) zu einer infini 
tesimalen Transformation der Gruppe gelangen, in analoger Weise, 
wie es in der Ebene (in § 3 des 2. Kap.) geschah: Nach einer be 
liebigen Transformation der Gruppe mit dem Parameter s wird eine 
zweite ausgeführt, welche sich von der zur Transformation («) inversen 
Transformation (s) nur unendlich wenig unterscheidet, deren Parameter 
also etwa s -f- ds ist. Diese Reihenfolge ist einer einzigen Transfor 
mation der Gruppe äquivalent und zwar einer infinitesimalen Trans 
formation, denn die Transformation (« -f- ds) führt die Punkte in 
Lagen zurück, welche nur unendlich wenig von den Anfangslagen 
ahweichen. 
Kann man so auf verschiedenen Wegen zu einer infinitesimalen 
Transformation der Gruppe gelangen, so bleibt noch die Frage offen, 
ob wir dadurch auch stets zur selben kommen. Hierüber werden wir 
uns im nächsten Paragraphen Klarheit verschaffen. 
Beispiel: Die oo 1 Transformationen: 
x x — x cos a — y sin a, 
y 1 = x sin a -f- y cos a, 
£i = ,s-}- ma 
mit dem Parameter a bilden eine eingliedrige Gruppe, (m soll eine 
bestimmte Zahl sein.) Zunächst sieht mau dies rein geometrisch ein: 
Die Gleichungen stellen ja nichts anderes dar als eine Bewegung des 
Raumes, bei welcher der (starr gedachte) Raum um die #-Axe um 
den Winkel a gedreht und gleichzeitig längs der #-Axe um die 
Strecke ma verschoben wird. Es ist dies also eine Schraubenbewegung. 
Variiert a, so hat man oo 1 solche Schraubenbewegungen, aber alle 
mit derselben Steighöhe, weil das Verhältnis zwischen Drehwinkel a 
und Verschiebung ma constant ist. Zwei solche Schraubungen nach 
*) Erst durch diese zweite Methode erkennt man in voller Strenge, dass 
jede eingliedrige Gruppe des dreifachen Raumes mit paarweis inversen Trans 
formationen eine infinitesimale Transformation 
Sx = |(a?, y, z)St -f • • •, Sy = y{x, y, z)8t -\ •, Sz = g(«, y, z)8t+ ■ • • 
enthält, deren Reihenentwickelungen nach ganzen Potenzen von St fortschreiten 
und Glieder erster Ordnung in di wirklich enthalten.