Constraction einer eingl. Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 215 
einander ausgeführt sind natürlich einer einzigen äquivalent mit eben 
derselben Steighöhe. Wenn cc und cq die Drehwinkel der beiden nach 
einander ausgeführten Schraubungen sind, so ist offenbar cc -f- cq der 
Drehwinkel der dieser Aufeinanderfolge äquivalenten Schraubung. 
Auch analytisch erhellt dies: Führen wir nach der Schraubung 
(a), welche die Punkte (x, y, z) in die Lagen (x x , y x , q) überführt, 
eine zweite (cq) aus, welche die neuen Punkte (x x , y x , q) weiter nach 
den Stellen (x 2 , y 2j q) bringt, so haben wir ausser den drei obigen 
Gleichungen diese: 
X 2 = X x cos cq — y x sin cq, 
y 2 — x x sin cq -j- y x cos cc 1} 
q = q -f- mcq. 
Eliminieren wir x x , y x , q, so liefern die ersten beiden Gleichungen 
paare, wie wir schon von der Gruppe der Rotationen um den An 
fangspunkt in der (iCT/)-Ebene wissen (vgl. § 2 des 1. Kap.): 
x 2 = x cos (cc -f- cq) — y sin (cc -f- cq), 
y 2 = x sin (cc -f- cq) -j- y cos (cc -f- cq), 
und ausserdem kommt: 
q = 0 + m{cc -f- a x ) 
und dies ist wieder eine jener Schraubungen, nämlich die mit Dreh 
winkel cc —(— cq. 
Also bilden jene oo 1 Transformationen eine eingliedrige Gruppe 
des Raumes, cc = 0 giebt ihre identische, also cc = dt eine unendlich 
kleine Transformation der Gruppe, nämlich: 
x x = x — ydt y x = y xdt --}-•••, q = s -f- v/i d t -f- • • • 
Hier ist also 
l = — y 7 rj = x, t = 
§ 2. Construetion einer eingliedrigen Gruppe aus einer infinitesi 
malen Transformation; Nachweis, dass sie nur eine solche enthält. 
Ausgehend von der vorgelegten eingliedrigen Gruppe des Raumes 
sind wir zum Begriff einer infinitesimalen Transformation des Raumes- 
gelangt. Es liegt uns jetzt ob, diese näher zu untersuchen. Wir 
werden dabei völlig parallel mit den Entwickelungen des § 4, 2. Kap., 
zu Werke gehen, also zunächst den Gruppenbegriff beiseite lassen und 
annehmen, es sei irgend eine infinitesimale Transformation des Raumes 
definiert durch drei Gleichungen von der Form