Construction einer eingi. Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 217 
Diese Gleichungen (11) sind nun der analytische Ausdruck einer 
Schar von oo 1 Transformationen des Raumes und diese bilden eine 
eingliedrige Gruppe mit dem Parameter t. 
Zum Nachweis dieser Behauptung müssen wir auf die Art der 
Integration des simultanen Systems (10) näher eingehen. Zunächst 
besitzen die beiden Gleichungen 
dx x dy x dz x 
ê(®i, 2/i» h) _ 2/i j z i) ~ £(q, Vi,eJ 
zwei von einander unabhängige Integrale £l x {x x , y 1} q) und ß 2 (q, y x , q), 
die, weil sie frei von t sind, natürlich auch Integrale des ganzen Sy 
stèmes (10) sind. Um nun noch ein Integral des letzteren zu finden, 
das t enthält, werden wir etwa y x und q vermöge 
ß^ — q, ß 2 — c.> 
aus 
dx x 
ê i yD^l) 
dt 
eliminieren. Dadurch wird die linke Seite ein Ausdruck in x x und 
den Constanten q, c 2 . Diese Gleichung wird folglich eine gewöhn 
liche Differentialgleichung zwischen x x und t, die sich durch eine 
Quadratur integrieren lässt. Ihr Integral hat die Form: 
F{x lx q, c 2 ) t. 
Wenn man q und q wieder durch ß x und ß 2 ersetzt, so geht hier 
aus ein Integral des Systems (10) hervor und zwar, in der Gestalt 
W{x x ,y x ,z x ) — L 
Da sich für t = 0 die Functionen x 1} y x , q von t auf x, y, z redu- 
cieren sollen, so ergeben sich also die gesuchten Functionen durch 
Auflösung der drei Gleichungen: 
| & x (cc x ,y x ,z x ) = il x (x,y,z), 
(12) ß 2 , y x , q) = ß 2 {x, y, z), 
l W{x x , y X) q) — t = W(x, y, z) 
nach x x , y 1} q. Die Auflösungen sind die obigen Gleichungen (11), 
von denen wir behaupteten, dass sie eine Gruppe vorstellen. Diese 
Behauptung wird durch die Form der Gleichungen (12) leicht dar- 
gethan. 
Eine Transformation nämlich der Schar (11) oder — unaufgelöst 
— der Schar (12), welche dem Pararaeterwert t zugehört, führt die 
Punkte (x, y, z) in die Punkte (rq, y x , q) über. Eine zweite Trans 
formation derselben Schar, deren Parameterwert t x sei, wird diese 
Punkte (x x? y X} q) weiterhin an die Stellen (x 2 ,y 2 ,z^) gelangen lassen, 
die sich aus den Gleichungen bestimmen: