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Kapitel 11, § 2.
oder
s x = s -(- m t-
Die drei gefundenen Integralgleichungen stellen die im Beispiel zu
§ 1 schon betrachtete eingliedrige*Gruppe von Schraubungen mit con
stanter Steighöhe um die z-Axe dar.
Im vorigen Paragraphen gingen wir von einer beliebig gegebenen
eingliedrigen Gruppe des Raumes mit paarweis inversen Transforma
tionen aus und fanden, dass sie sicher eine infinitesimale Transfor
mation enthält. In diesem Paragraphen betrachteten wir umgekehrt
eine infinitesimale Transformation als vorgelegt und zeigten, dass sie
eine eingliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transformationen erzeugt.
Jetzt fehlt nur noch der Nachweis, dass eine eingliedrige Gruppe
des Raumes nur eine infinitesimale Transformation enthält, sowie dass
jede infinitesimale Transformation des Raumes nur einer eingliedrigen
Gruppe angehört. Dies werden wir jetzt zeigen.
Vorher aber eine Bemerkung: Wenn bei zwei infinitesimalen
Transformationen des Raumes:
x' = x-j- Ux, y, z)dt -f , y = y + rjdt 4 , z = z + £dt-(
und
x = x \{x, y, z') dt , y — y ydt -{-•••, z — 8 -j- \dt -f- • • •
die Coefficienten £, rj, £ und rj, £ von dt einander im ganzen Raume
in der Weise proportional sind, dass
1 = ^1, y = xrj, £ = *£
ist, wo sc eine Gonstante bedeuten soll, so sagen wir, wie früher in
der Ebene, diese beiden infinitesimalen Transformationen seien von
einander abhängig, und betrachten sie als im Grunde identisch. In
der That, dt ist ihrem Begriffe nach nur eine gegen Null conver-
giereude Grösse, dt und ndt sind also als äquivalent aufzufassen. Auch
ordnen die beiden infinitesimalen Transformationen dem Punkte (x, y, s)
Fortschreitungsstrecken dty% 2 -f-t? 2 + ^ und kdf]/^ -f- rj 2 -f- t? zu,
welche für irgend einen Wert von dt dieselbe Richtung haben und
deren Längenverhältnis im ganzen Raum constant ist.
Nachweis, Um nun den versprochenen Nachweis zu liefern, verfahren wir
d. e. eingl. ,
Gruppe nur wie in § 5 des 2. Kapitels. Wir gehen aus von einer vorgelegten
Trf. hat. eingliedrigen Gruppe des Raumes:
