Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reihenentwickelung. 227 
Systeme neue Veränderliche £, t) ; § und j,, t) 1; §, ein, so geht das Symbol 
<- 8f - 8f . , df 
V f=id X + ^Jy+ i d-z 
der infinitesimalen Transformation der Gruppe dabei direct in das Symbol 
ll f der infinitesimalen Transformation der neuen Gruppe über. Es er- 
giebt sich also: 
ivo natürlich Ui, Ut), Ul in den neuen Veränderlichen £, 1), l zu 
schreiben sind. 
Hiernach ist leicht eiuzusehen, dass man eine gegebene infini 
tesimale Transformation Uf nebst der von ihr erzeugten eingliedrigen 
Gruppe durch Einführung neuer Veränderlicher £, ty, § stets auf eine 
beliebig angenommene Form bringen kann. Wollen wir z. B. Uf in 
die infinitesimale Transformation 
\\f= 1(E, k), h) °J + v(h V 8) + Uh V, l) §f 
überführen, so haben wir zur Bestimmung der Functionen £, t), g von 
x, y, z nach (25) die Gleichung anzusetzen: 
l — — = üx — 4- Ut) — 4- Ui—- 
Ul di T dt) -T di 
Sie soll für jede Function f gelten, zerfällt also in die drei einzelnen 
Forderungen: 
(26) U% = \, Ut) = ri, Ui = l 
oder ausführlich geschrieben: 
(26') 
+ ^ ^ ^ fe V 5); 
8 x 
8\) 
dt) 
dx + ** Fy + S 
8 z 
8t) 
8 z 
v* 8x ' ‘ 8y ' * 8z 
V (?> ä); 
£ (i? V h) • 
Dies aber sind drei simultane Differentialgleichungen zur Bestimmung 
von £, t), 1 als Functionen von x, y, z, die sich immer erfüllen lassen, 
vorausgesetzt natürlich, dass nicht etwa %, rj, £ sämtlich identisch 
gleich Null angenommen werden. 
Da die hierdurch bestimmten neuen Veränderlichen r, ü, l die über- 
Führung 
infinitesimale Transformation Uf in W.f überführen und gleichzeitigeinerGruppe 
M r ..i in eine 
die von Uf erzeugte Gruppe gerade in die von u/ erzeugte übergeht , andere, 
so hat sich ergeben: