Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reibencutwickelung. 233 
und jede Function f(x x; y x , z x ) hat die Form: 
rwVu *.)=m ti,*) + jVf+mn+mu(üf)) + -. 
An dieser Stelle wollen wir noch eine Ausdrucksweise einführen, 
die sehr bequem ist: Liegen mehrere infinitesimale Transformationen 
UJ, JJ 2 f • • • V, r f des Raumes vor, so nennen wir sie von einander 
unabhängig dann und nur dann, wenn zwischen ihnen keine lineare 
Relation'mit constanten Coefficieuten besteht, dagegen abhängig, Avenn 
eine solche Relation: 
c i Uit ~h c 2 U 2 f -f- • • • -f- c r Urf = 0 
identisch stattfindet. 
1. Beispiel: Wir w T ollen die endlichen Gleichungen der von der 
infinitesimalen Transformation 
TT r— bf , df . df 
erzeugten eingliedrigen Gruppe von Schraubungen längs der z-Axe 
vermöge der Reihenentwickelungen darstellen. Die Entwickelungen 
von x x und y x sind hier genau dieselben wie im 1. Beispiel des § 3, 
3. Kap., sodass sich ergiebt: 
*1 + 1-1-3-4. ■)-»(!- l-iTs + •■•)> 
!h= x iT — rLs + T.a.*8.4.« ) ( X “TTi H ) 
oder: 
x x = x cos t — y sin t, 
y x = x sin t -f- y cos t. 
Ferner ist 
Uzeeem, ü{Uz) = 0, ü{ü(Uz)) = 0, •••, 
sodass als dritte Gleichung hinzutritt: 
z x = s + mt, 
Avas mit den früheren Ergebnissen überein stimmt. 
2. Beispiel: Man soll die endlichen Gleichungen der von der in 
finitesimalen Transformation 
dx 
Uf=Z 
+ 8 
d L 
dy 
erzeugten eingliedrigen Gruppe vermittelst Reihenentwickeluug finden. 
Hier ist: 
Ux = z, ü(Ux) = 1, U(ü{Ux)) eeee 0, u. s. w. ; 
üy = e, U(Uy) = 1, ü(ü(Uy)) = 0, u. s. W.; 
Uz = 1, U{Uz) = 0, U. S. W. 
Beispiele.