Die Bahncurven einer eingliedrigen Gruppe des Baumes. 239 
Satz 2: Jede Bahncurve einer eingliedrigen Gruppe des Raumes bleibt 
invariant bei allen Transformationen der Gruppe. 
Oben fanden wir, dass sich die Gleichungen der Bahncurven in 
der Form (2) ergehen. Daraus folgt: 
Satz 3: Kennt man die endlichen Gleichungen einer eingliedrigen 
Gruppe des Raumes, so kennt man auch ihre Bahncurven. 
Handelt es sich dagegen darum, die Bahncurven zu bestimmen, 
wenn nur die infinitesimale Transformation 
df 
üf=t 
dx 
+ ’>Ty + t 
df 
dz 
der eingliedrigen Gruppe bekannt ist, so hat man zu beachten, dass 
ein Punkt (x, y, z) vermöge der infinitesimalen Transformation TJf in 
einen benachbarten Punkt seiner Bahncurve übergeführt wird, d. h, 
dass x, y, 8 auf der Bahncurve um Incremente dx, dy, dz zunehmen, 
welche proportional |, r], £ sind, was wir in einem Satz aussprechen: 
Satz 4: Die Bahncurven einer eingliedrigen Gruppe des Raumes 
ordnen ihren Rankten gerade die Richtungen zu, welche ihnen vermöge 
der infinitesimalen Transformation der Gruppe zugehören. 
Die Bahncurven sind also auch die Integralcurveu des simultanen 
Systems: 
dx dy dz 
T — T~ T’ 
das gerade oo 2 Integralcurven besitzt, oder, was dasselbe ist, die 
oo 2 Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichung: 
7- T n t df | df , 9 df A 
Vf=i u + n Ty + i^ = 0. 
Satz 5: Die Bahncurven der von der infinitesimalen Transformation 
TJf erzeugten eingliedrigen Gruppe des Raumes sind identisch mit den 
Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichung Uf = 0. 
Betrachten wir endlich die Gleichungen 
^ = IOi ,yi,zf), d jf = v(.Xi,yi,z 1 ), = ^i,yi,Z 1 ) 
als Definitionsgleichungen einer stationären Bewegung eines com- 
pressibeln Fluidums, so werden die Strömungscurven der stationären 
Bewegung die Bahncurven der infinitesimalen Transformation: 
£0, y>*)jx + v( x > y> jy + y> z ) || • 
Im Laufe der Bewegung wird jede Bahncurve in sich verschoben.