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Kapitel 12, §§ 2 
Erinnern wir uns nun daran, dass nach Theorem 17 des vorigen 
Paragraphen die Invarianten ß der Gruppe die Lösungen f der linearen 
partiellen Differentialgleichung TJf — 0 sind, so erhellt, dass zwei von 
einander unabhängige Invarianten der Gruppe gleich Null gesetzt 
eine Charakteristik dieser Differentialgleichung, also eine Bahncurve 
darstellen. 
Satz 6: Sind und ß 2 zwei von einander unabhängige Invarianten 
einer eingliedrigen Gruppe des Baumes, so stellen die Gleichungen 
= Const., = Const. 
die oo 2 Bahncurven der Gruppe dar. 
Beispiel: Wir fanden bei der von der infinitesimalen Trans 
formation 
TJ n df , df , df 
Uf=-y W ; c + x ^ + m w 
erzeugten Gruppe von Schraubungen längs der z-Axe (vgl. 1. Beispiel 
des § 1) die Invarianten 
== Yx 2 + y*, = arctg — 
daher stellen die Gleichungen: 
x 2 + y 2 = r 2 , arctg — ~ = c, 
wenn r und c darin Constanten bedeuten, ihre oo 2 Integralcurven dar. 
Die erste Gleichung sagt aus, dass die Bahncurven auf Rotations- 
cylindern um die #-Axe liegen, die zweite: 
arctg — = c 4- —, 
dass der Winkel, den das Lot vom Punkte (x, y, z) einer Bahncurve 
auf die z-Axe mit der (xy) -Ebene bildet, in arithmetischer Progression 
mit der Höhe z wächst. Der betreffende Punkt beschreibt also seine 
Bahncurve, wenn er beständig auf einem Rotationscylinder um die 
0-Axe gleichförmig längs der z-Axe weitergehend diese mit gleich 
förmiger Geschwindigkeit umkreist. Die Bahncurve ist also eine 
Schraubenlinie. Aus den endlichen Gleichungen der Gruppe: 
x 1 = X cos t — y sin t, 
y i — x sin t -f- y cos t, 
z x — z -J- mt 
ergeben sich die Gleichungen der Bahncurven durch Elimination von t. 
Die beiden ersten liefern die Cylinder 
x 2 -\- y 2 = x 2 + y 2 — Const. 
und wegen der letzten ist t — Zi ■ ■ ■-, also, da die beiden ersten