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Kapitel 12, § 3. 
erfüllt werden und in diesem Fall ist jede beliebige auf einer dieser 
Flächen gelegene Curve eine invariante Curve. 
Theorem 18: Dreierlei Curven können hei einer eingliedrigen 
Gruppe des Raumes, welche von der infinitesimalen Transfor 
mation 
df 
dz 
erzeugt wird, in Ruhe hleihen. Die einen (stets vorkommenden) 
sind die oo 2 Dahncurven, d. h. die Charakteristiken der linearen 
partiellen Differentialgleichung üf= 0. Zweitens kann es ver 
kommen, dass die Gleichungen 
10, y, z) = rj(x, y, z) = £0> V, *) = 0 
von allen Punkten einer oder einiger Curven erfüllt werden. 
Alsdann sind diese Curven ebenfalls invariant. Drittens ist 
es möglich, dass diese drei Gleichungen von allen Punkten 
einer oder einiger Flächen erfüllt werden. In diesem Falle 
ist jede Curve auf einer dieser Flächen eine invariante. 
Die in den beiden letzten Fällen auftretenden invarianten 
Curven bestehen aus lauter einzeln invarianten Punkten. 
Beispiele. 
1. Beispiel: Fragen wir uns, ob bei der von der infinitesimalen 
Transformation 
TT n df , df | 
Uf= — y -A- 4- x -G- + m 
' J ox 1 Oy 1 
df 
dz 
erzeugten eingliedrigen Gruppe von Schraubungen längs der #-Axe, 
deren Bahncurven wir in § 2 als Schraubenlinien bestimmten, in 
variante Curven der zweiten oder dritten Art existieren. Wir müssten 
zu dem Zweck 
x = y — m = 0 
setzen. Es existieren also einzeln invariante Punkte (im Endlichen) 
nur dann, wenn m = 0 ist. In diesem Falle sind es die Punkte der 
Z-Axe. Dies ist selbstverständlich, denn für m — 0 reduciert sich die 
infinitesimale Schraubung Df auf die infinitesimale Rotation 
df , 
— V ö—r # 
J ox 1 
K 
dy 
um die z-Axe, die natürlich bei ihr invariant bleibt. Die Schrauben 
linien, welche früher die Bahncurven waren, sind zu Kreisen dege 
neriert. 
2. Beispiel: Die von der infinitesimalen Transformation 
tt n df , df - df 
ZT f = X \~ y “ö 8 tt— 
' ox XJ oy ÓZ