Die bei allen Transf. einer eingl. Gruppe d. Raumes inv. Curven u. Flächen. 243 
erzeugte Gruppe ist die der Ähnlichkeitstransformationen (ähnlicher 
Yergrösserungen und Verkleinerungen) vom Anfangspunkt aus, bei 
welchen der Anfangspunkt in Ruhe bleibt. Denn ihre endlichen 
Gleichungen bestimmen sich durch Integration des simultanen Systems 
dx 1 _ dy l dz x _ ^ 
®i Vx *1 
mit den Anfangswerten x, y, 0, 0 in der Form: 
x 1 = xe t , y 1 = ye t , 0 l =0e t 
oder, wenn e* = a gesetzt wird: 
x x — ax, y x = ay, z x = az. 
Die Bahncurven sind die Geraden vom Anfangspunkt aus. Soll ein 
Punkt (x, y, 0) invariant sein, so müssen % = x, rj = y, £ = 0 für ihn 
verschwinden. Also bleibt nur der Anfangspunkt einzeln invariant. 
Es giebt demnach keine invariante Curve der zweiten oder dritten Art. 
3. Beispiel: Die Bahncurven der von der infinitesimalen Trans 
formation 
TT r d f 
Uf= X rr- 
1 O X 
erzeugten eingliedrigen Gruppe: 
x x = xt, y x =y, 0 X =0 
sind offenbar die Geraden y — Const., 0 = Coust. parallel der x-Axe. 
Setzen wir £ == 7] = £ = 0, so erhalten wir für die einzeln invarianten 
Punkte hier die Ebene 
x — 0, 
Es giebt also invariante Curven der dritten Art: Jede Curve in dieser 
Ebene ist invariant. 
4. Beispiel: Es stellt, wie wir wissen, 
df , df 
— y ä—h x 
J ox 1 6y 
eine infinitesimale Rotation um die 0-Axe und 
df 
8 x 
X-rrr + y 
df , df 
-FT + Z 
dy 1 oz 
eine infinitesimale Ähnlichkeitstransformation vom Anfangspunkt aus 
dar. Von Interesse ist nun diejenige infinitesimale Transformation, 
die wir aus beiden zusammensetzen, indem wir die erste mit — 1, 
die zweite mit einer Constanten x multiplicieren und darauf beide 
addieren. Die dadurch entstehende infinitesimale Transformation 
Uf= (y + xx) + (- x + W) ly + **§£ 
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