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Zwei 
gliedrige 
Identische 
Translation. 
4 Kapitel 1, § 1. 
x x = x + a, y t = y + b 
ist äquivalent mit einer einzigen Translation derselben Schar. 
Deshalb nennen wir auch diese Schar eine Gruppe von Trans- 
ghippe von lationen. Sie enthält zwei willkürliche Constanten (Parameter) a und 
lationen. b und daher oo 2 verschiedene Translationen. Aus diesem Grunde wird 
sie als eine zweigliedrige Gruppe bezeichnet. 
Kehren wir nun zu den zuerst betrachteten Translationen parallel 
der x-Axe 
(1) Vv =V 
zurück. Unter diesen oo 1 Translationen ist eine besonders bemerkens 
wert, nämlich die, für welche a — 0 ist, d. h. bei der um die Strecke 
Null verschoben wird. Hierbei bleiben alle Punkte in Ruhe, und man 
könnte eigentlich nicht mehr von einer Translation sprechen. Will 
man dies aber doch thun,.so wird man sie die identische Translation 
nennen, d. h. die, welche jeden Punkt in sich selbst überführt. Alle 
übrigen Translationen der eingliedrigen Gruppe (1) stellen wirkliche 
Bewegungen dar. Zu beachten ist, dass sich zu jeder Translation 
dieser Gruppe eine andere Translation derselben angeben lässt, welche, 
nach jener ausgeführt, die Wirkung derselben gerade aufhebt. Es 
ist nämlich die Reihenfolge der Translationen um die Strecken a und 
— a einer Translation um die Strecke a — a — 0, also der identischen 
Translation äquivalent. Man nennt deshalb zwei Verschiebungen um 
entgegengesetzt gleiche Strecken zu einander invers. 
Der Übergang von einer endlichen Translation, einer solchen also, 
welche die Punkte um eine endliche Strecke a verschiebt, zur iden 
tischen wird dadurch gewonnen, dass man den Parameter a gegen Null 
abnehmeu lässt. Setzt man ihn gleich einer unendlich kleinen Con 
stanten 8t, so ergiebt sich eine infinitesimale Translation, d. h, eine 
solche, welche allen Punkten der Ebene nur eine unendlich kleine 
Bewegung erteilt: 
Xi = x + 8 t, «q = y. 
Bei derselben erfahren also die Coordinaten x, y nur unendlich kleine 
Zuwüchse 
8x — 8t, 8y — 0, 
d. h. sie ordnet allen Punkten (x, y) gleichlange unendlich kleine 
Fortschreitungsstrecken dt in derselben Richtung zu. Führt man diese 
Translation mehrere Male, etwa n-mal, nach einander aus, so geht 
(x, y) über in den Punkt 
x t =x + n8t } y x = y- 
Inverse 
Trans 
lationen. 
Infini 
tesimale 
Translation