Analytische Kriterien für die Invarianz einer Curve oder Fläche. 249
die Bahncurven und die aus lauter invarianten Punkten bestehenden
Curven. Andererseits fanden wir zwei verschiedene Arten invarianter
Flächen, nämlich die von Bahncurven erzeugten Flächen zusammen
mit denjenigen Flächen, die aus lauter invarianten Punkten bestehen.
Es ist nun bemerkenswert, dass alle invarianten Curven sich
durch ein einziges analytisches Kriterium definieren lassen; dieses gilt
für die beiden Arten invarianter Curven und für keine andere Curve
des Raumes. Noch wichtiger ist es, dass sich für die Invarianz einer
Fläche ein einziges Kriterium aufstellen lässt, welches von allen in
varianten Flächen und von keiner andern Fläche erfüllt wird. Dies
wollen wir jetzt zeigen.
Vorher haben wir jedoch einige Bemerkungen über gewisse zuUMtatthafte
vermeidende analytische Darstellungsformeu von Flächen und Curven ^enjon
zu machen. curven.
Man kann voraussetzen, dass die Gleichung einer beliebigen
Fläche
co(x,y,z) = 0
d co
sämtlich für alle Punkte
so geschrieben ist, dass nicht 0—, 0
0 ’ ox 7 cy’ dz
der Fläche verschwinden. Denn man braucht sich z. B. die Gleichung
nur nach einer der darin vorkommenden Veränderlichen, etwa nach z,
aufgelöst zu denken:
8 — F{x, y) = 0,
um zu erreichen, dass der Diiferentialquotient der gleich Null gesetzten
Function nach z verschieden von Null, nämlich gleich 1, wird. Für
die berührte Ausnahmeform ist dies ein Beispiel: Die Gleichung einer
Kugel mit dem Radius 1 um den Anfangspunkt kann offenbar so
geschrieben werden:
co = {x 2 + y 2 + ¿ 2 - l) 2 = 0.
Hier ist:
8 ~ = 4:x{x 2 + y 2 z 2 — 1),
also gleich Null für alle Punkte der Kugel, analog ^ und • Eine
solche Darstellungsform soll also, da sie stets vermieden werden kann,
als ausgeschlossen gelten.
Eine ganz ähniche Bemerkung gilt für die Darstellung einer
Raumcurve durch zwei Gleichungen
»i i x , V, *) = 0, co 2 (x, y, z) = 0.
Wir dürfen voraussetzen, dass die Gleichungen derselben so gewählt
sind, dass nicht alle zweireihigen Determinanten der Matrix
