250 Kapitel 12, § 4. 
Invarianz- 
Kriterium 
für eine 
Fläche. 
8co 1 8co 1 dco 1 
dx dy dz 
da> 2 dco 2 dco 2 
dx dy dz 
oder also der Ausdruck 
dco t d CO2 d(0 1 d(0 2 
dy dz dz dy 
und die beiden durch cyklische Vertauschung von x, y, z daraus 
hervorgehenden Ausdrücke sämtlich für alle Punkte der Curve ver 
schwinden. In der That kann man dies stets vermeiden, wenn man 
z. B. die Gleichungen nach zweien der in ihnen verkommenden Ver 
änderlichen, etwa nach y und z, auf löst: 
y — F x (x) = 0, g — F 2 0) = 0, 
denn dann ist 
und also 
«i = y — F x {x), a 2 eee z — F 2 (x) 
dco l dco 2 dm 1 dco 2 .. | „ 
dy dz dz dy ' 
Unzulässig ist z. B. das Gleichungenpaar 
y = 0, yz = 0 
zur Darstellung der ;c-Axe. 
Nach diesen notwendigen Vorbemerkungen kommen wir nunmehr 
zur Sache. 
Eine Fläche 
«0,y, *0 = 0 
bleibt bei allen Transformationen der von Uf erzeugten eingliedrigen 
Gruppe, welche x, y, z in x x , y x , z x überführen, invariant dann und 
nur dann, wenn die Gleichung 
= 0 
stets nur eine Folge von 
co(x, y, z) = 0 
ist. Nach Theorem 16 des § 3, 11. Kap. kann die erste Gleichung 
auch so geschrieben werden: 
(4) + Uco + ^U{Ua>)+ ■■■ = (). 
Da sie für alle Werte des Parameters t eine Folge von (o(x,y,z) = 0 
sein soll, so folgt als eine erste, notwendige Bedingung, dass: 
Um(x, y, z) — 0 
sein muss vermöge co(x, y, z) — 0.