Ein- und zweigliedrige Gruppe von Translationen. 5 
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Denkt man sich die infinitesimale Transformation unendlich oft nach 
einander ausgeführt, lässt man also n unendlich gross werden, so wird 
ndt eine endliche Strecke a und es ergiebt sich wieder eine endliche 
Translation 
Xl = x + a, y l = y. , ^ , ,4 ■. .. ll :: 
Wenn man auf einen bestimmten Punkt (x 0 , y 0 ) alle Translationen 
unserer eingliedrigen Gruppe 
Xl = x + a, y t =y 
ausfübrt, so erhält er oo l verschiedene Lagen: 
x = x 0 -j- a, y = y 0 , 
deren Gesamtheit die Parallele zur x-Axe y — y 0 erfüllt. Diese Gerade, 
den Ort aller Punkte, in welche ein bestimmter Punkt durch Aus 
führung aller Translationen unserer Gruppe übergeht, nennen wir die 
Bahncurve dieses Punktes. Da alle Punkte (x n , y a ) auf dieser Geraden Bahn ‘ 
offenbar diese auch zur Bahncurve haben, so nennen wir sie Bahn 
curve schlechtweg oder auch Bahncurve der eingliedrigen Gruppe. Im 
ganzen giebt es oo 1 Bahncurven, bestehend aus allen Parallelen zur 
x-Axe. Auch die infinitesimale Translation führt den Punkt (# 0 , y 0 ) 
auf seiner Bahncurve, wenn auch nur unendlich wenig, weiter und 
deshalb muss die Richtung der Bahncurve im Punkte (,r 0 , y 0 ) mit der 
Richtung übereinstimmen, welche die infinitesimale Translation diesem 
Punkte zuordnet, was auch geometrisch ohne weiteres einleuchtet. 
Betrachten wir eine der Bahncurven als Ganzes, so finden wir, 
dass sie bei Ausführung einer beliebigen Translation 
x x = x-\- a, Vi =y 
nur in sich um die Strecke a verschoben wird, als Ganzes aufgefasst 
also in Ruhe bleibt: Sie ist invariant bei allen Translationen unserer In ^ a ” a e nt0 
eingliedrigen Gruppe. Es ist sofort klar, dass ausser der Bahncurve 
im Endlichen keine Curve existiert, welche bei der Gruppe ebenfalls 
invariant bliebe, d. h. deren Punkte bei allen Translationen der Gruppe 
wieder in Punkte derselben übergingen. 
Wohl aber müssen wir die unendlich ferne Gerade als invariant auf- 
fasseö, denn jeder unendlich ferne Punkt bleibt für sich bei allen Trans 
lationen der Gruppe in Buhe, wenn man sich auf den Standpunkt der pro- 
jectiven Geometrie stellt, wonach ein unendlich ferner Punkt durch die 
Richtung einer Schar von Parallelgeradeu charakterisiert wird. 
Stellen wir uns das analytische Problem, alle Functionen £i(x,y) 
zu finden, welche bei jeder Translation