Einige geometrische Beispiele. 
257 
Wir wollen einige flächentheoretische Bemerkungen in betreff der 
Haupttangentencurven dieser Flächengattung anknüpfen. Leser, welche 
mit der Flächentheorie noch keine nähere Bekanntschaft gemacht 
haben, können ohne Beeinträchtigung des Späteren den Rest dieses 
Kapitels überschlagen. Bekanntlich hat eine Haupttangentenrichtung 
in einem Flächenpunkt die Eigenschaft, dass, wenn der Punkt sich 
längs derselben bewegt, seine Tangentialebene um diese Richtung sich 
dreht. Jede Transformation unserer Gruppe Uf hat nun die Eigen 
tümlichkeit, Geraden in Geraden, Ebenen in Ebenen überzuführen. 
Da sie die Fläche 
L 
g — X a Tp(y a • x~ p) 
in sich überführt, so ergiebt sich, dass sie jede Tangentialebene der 
Fläche wieder in eine Tangentialebene verwandelt. Wegen der obigen 
(rein projectiven) Definition der Haupttangentenrichtungen muss die 
Transformation auch jede Haupttangentencurve der Fläche wieder in 
eine Haupttangentencurve derselben überführen. Es giebt somit eine 
bekannte infinitesimale Transformation Uf, welche die oo 1 Haupt 
tangentencurven der Fläche unter sich vertauscht. 
Wir können x und y als Parameter auf der Fläche 
y_ 
g = x a Tp{y a • X~~P) 
betrachten und also die Differentialgleichung der Haupttangentencurven 
in x, y allein schreiben. Sie ist in dx und dy quadratisch und es sei 
Xdy — Ydx — 0 
einer ihrer beiden linearen Factoren. X, Y sind hierin bekannte Func 
tionen von x und y. Da die zu Xdy — Ydx — 0 gehörige Schar 
von Haupttangentencurven unsere projective Transformation Uf ge 
stattet, so folgt, dass die Differentialgleichung: 
Xdy — Ydx — 0, 
die ja auch die der Projection jener Haupttangentencurven auf die 
Ebene g = 0 ist, die infinitesimale Transformation: 
-Tyr df , R df 
zulässt und daher den Integrabilitätsfactor: 
l 
ß Xy — aYx 
besitzt (vgl. Theorem 8, § 1 des G. Kap.). 
Lie, Differentialgleichungen. 
17