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Kapitel 12, § 5. 
Man kann also die Haupttangentencurven der Flächen von der Form 
1_ 
Z — X a Xp{y a -X~P) 
durch Quadratur bestimmen. 
Bei der praktischen Ausrechnung wird es bequemer sein, so zu 
verfahren: 
Zunächst wollen wir mit d bezeichnen, also die Haupttangen 
tencurven der Fläche 
z — x ä ip(x~ P • y a ) 
bestimmen. Bekanntlich lautet die Differentialgleichung der Haupt 
tangentencurven : 
rdx 2 -f- 2sdxdy -f- tdy 2 — 0, 
wo 
r = ^ = d(d — l)x ö ~ 2 ip— ß(2d — ß— l)x ö ~~l i ~ 2 y 0l 'ip'-\-ß 2 x ö ~ 2 l i ~ 1 y 2a tp", 
s = — a(ß — ß)x ä ~ß~~ 1 y a ~ x ip' — aßx s ~ 2 ß~ 1 y 2a ~ x xp", 
t = = cc{a — V)x ö ~ß y a ~ 2 xp' -f- a 2 x ö ~~ 2 ^ xp" 
ist. Jeder der beiden linearen Factoren, in welche die Differential 
gleichung zerfällt, stellt gleich Null gesetzt eine der beiden Scharen 
von Haupttangentencurven oder ihre Projectionen auf die (xy)- Ebene 
dar und gestattet die infinitesimale Transformation: 
17 -r df i o df 
Yf= ax ^ + ßy^- 
Es ist nun bequem, die Integration durch Einführung canonischer 
Veränderlicher nach § 5 des 6. Kapitels zu leisten. Es lassen sich 
nämlich sehr leicht canonische Veränderliche angeben, z. B. diese: 
l = x~ ß y a , 
denn es ist dann: 
Vf = yr . _l Ft) • — = — • 
VJ 1 di ^ di) dt) 
In den neuen Veränderlichen £, tj wird: 
i 
x — e at >, y = £ a e^ 
und also: 
r = [d{d — l)ip - ß(2d — ß — 1)^' + ß 2 fip'')e a ^-v\ 
_ V 
S = — ß))CXp' aßflp") • £ “ ¿aä-a — ß) ^