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Kapitel 12, § 5, Kapitel 13. 
Schrauben 
flächen. 
Infinit. 
Spiraltrans 
formation. 
Spiral 
flächen. 
Offenbar führt dieselbe jede Ebene wieder in eine Ebene über. Wir 
fanden im 1. Beispiel zu Theorem 19 (in § 3), dass bei der von TJf 
erzeugten eingliedrigen Gruppe alle Schraubenflächen von gewisser con 
stanter Steigung invariant bleiben, alle Flächen also, welche durch 
Yerschraubung einer beliebigen starr gedachten Curve längs der #-Axe 
entstehen. Da die Schraubungen projectiv sind, so gilt für die Haupt- 
taugentencurven dieser Flächen dasselbe Raisonnement, wie früher für 
die Flächen s — x ö if(x~P • y a ), d. h.: 
Die Haupttangentencurven einer Schraubenfläche lassen sich durch 
Quadraturen bestimmen. 
Dies lässt sich auch so einsehen: Die Schraubungen längs der 
£-Axe sind sogenannte JBezvegungen des Raumes, d. h. bei ihnen be 
wegen sich alle Punkte so, als ob sie starr mit einander verbunden 
wären. (Ygl. § 4 des 1. Kapitels.) Wenn eine Fläche bei diesen 
Schraubungen invariant bleibt, so gestattet sie eine Bewegung in sich 
und bei einer solchen müssen natürlich die Haupttangentencurven unter 
einander vertauscht werden. Dasselbe gilt aber offenbar auch von den 
Krümmungslinien und den Minimalcurven der Schraubenfläche. Also 
gestatten die Differentialgleichungen dieser drei Curvenscharen, wenn 
sie in x und y allein geschrieben werden, die infinitesimale Trans 
formation 
df . df 
Vf— — y ~~ -f- x • 
Ihre Integration verlangt demnach nur Quadraturen. 
Die Haupttangentencurven, Krümmungslinien wnd Minimalcurven 
einer Schraubenfläche lassen sich durch Quadraturen bestimmen. 
Wir erinnern, um eine ähnliche geometrische Anwendung zu geben, 
an die im 4. Beispiel zu Theorem 18 (in § 3) betrachtete infinitesimale 
Ähnlichheitstransformation in weiterem Sinne oder Spiraltransformation: 
üf= (y + xx) + (— X + jiy) y- -f- 
Man kann sie in der Weise herstellen, dass man eine unendlich kleine 
Rotation um die #-Axe und gleichzeitig (oder darauf, was bei unend 
lich kleinen Änderungen gleichgültig ist) eine unendlich kleine Ähn 
lichkeitstransformation (ähnliche Yergrösserung oder Yerkleinerung) 
vom Anfangspunkte aus ausführt. Die Flächen, welche bei der Spiral- 
transformatioQ üf invariant bleiben, nennen wir Spiralflächen*') insofern 
*) In den Math. Ann. Bd. 5 bemerkt Lie gelegentlich, dass auf Flächen, 
die eine infinitesimale projective Transformation gestatten, welche den imaginären 
Kugelkreis in Ruhe lässt, sich die Krümmungslinien sowie die Haupttangenten 
curven bestimmen lassen. Gleichzeitig führte er die Bestimmung ihrer geodätischen