Einige geometrische Beispiele. 
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als sie von oo 1 Bahncurven der eingliedrigen Gruppe U]f, die doppelt- 
gekrümmte Spiralen sind (vgl, das citierte Beispiel), erzeugt werden. 
Natürlich führt die infinitesimale Transformation Uf, als Verbindung 
einer infinitesimalen Rotation und infinitesimalen Ahnlichkeitstrans- 
formation, jede Haupttangentencurve, Krümmungslinie und Minimal- 
curve der Fläche wieder in eine Curve derselben Art über. Wenn 
also die Differentialgleichungen dieser Curvenscharen nur in x, y ge 
schrieben werden, so gestatten sie die infinitesimale Transformation, 
die aus üf durch Fortlassung der Glieder in hervorgeht: 
G/+ + (— x + x y) 
und sind also nach Theorem 8 des § 1, 6. Kapitel, durch Quadraturen 
integrierbar: 
Die Haupttangentencurven, Krümmungslinien und Minimalcurven 
einer Spiralfläche lassen sich durch Quadraturen bestimmen. 
Kapitel 13. 
Erweiterte Gruppe vou Puiikttransforinatiouen der Ebene. Endgültige 
Erledigung der Probleme, betreffend die Differentialgleichungen 
erster Ordnung, welche eine infinitesimale Punkttransformation 
zulassen. 
Wir erinnern an die zu Beginn des 11. Kapitels gemachte Be 
merkung: Damals hoben wir hervor, dass die in der zweiten Ab 
teilung entwickelte Theorie der Differentialgleichungen erster Ordnung 
in zwei Variabein x, y, welche eine infinitesimale Transformation ge 
statten, noch nicht zu einem völlig befriedigenden Abschluss gebracht 
wurde, dieser vielmehr zunächst noch die Betrachtung von eingliedrigen 
Gruppen in drei Veränderlichen erfordere. Nunmehr werden wir bald 
erkennen, inwiefern solche Gruppen in drei Veränderlichen mit der 
Theorie der Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei Veränder 
lichen Zusammenhängen. Wir werden nämlich die drei Variabein 
Curven auf die Integration einer gew. Differentialgleichung erster Ordnung zurück. 
Die Bezeichnung Spiralfläche führte er gelegentlich im norwegischen Archiv 
1878 ein. Dk auf Spiralflächen abwickelbaren Flächen betrachtete zuerst Levy; 
Darboux zeigte, dass diejenige Differentialgleichung erster Ordnung, welche 
nach Lie’s Untersuchungen die geodätischen Curven einer auf eine Spiralfläche 
abwickelbaren Fläche liefert, Piccati’sehe Form erhalten kann.