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Kapitel 13, § 1. 
nicht wie bisher als Punktcoordmaten im Raume deuten, sondern von 
einer eigentümlichen und sehr fruchtbaren Interpretation derselben als 
Coordinaten eines sogenannten Linienelementes in der Ebene Gebrauch 
machen. Unser Nächstes ist daher, diese Deutung auseinander zu setzen. 
§ 1. Erweiterung einer Punkttransformation der Ebene. 
Sei 
x 1 = cp{x,y) ) y 1 =ip{x,y) 
(1) 
eine vorgelegte Transformation der Punkte (x, y) der Ebene in die 
Punkte (x l} y x ) derselben, indem wir unter x, y rechtwinklige Punkt- 
coordinaten in der Ebene verstehen. 
Führen wir diese Transformation (1) auf irgend eine vorgelegte 
Curve c: 
y — F(x) = 0 
(2) 
aus, so geht diese Curve c in eine in x 1} y 1 geschriebene Curve c l : 
Vx — F iM = 0 
(3) 
über. Durch die Gleichung (2) aber wird jedem Punkte (x, y) der 
ersten Curve c eine tangentiale Fortschreitungsrichtung zugeordnet, 
deren Neigung 
ist. Auch dem Punkte (x 1} y^, in welchen dieser Punkt (x, y) der 
ersten Curve c bei der Tranformation (1) übergeht, gehört als Punkt 
der transformierten Curve c x eine gewisse tangentiale Fortschreitungs- 
richtnng zu: 
Es ist nun zu bemerken, dass sich diese durch x, y und die Neigung 
y im ursprünglichen Punkte (x, y) allein ausdrücken lässt. 
Es ist nämlich nach (1): 
fl. i/. rl.ilx (nr ni\ m ^ 7) w m 
Man kann hiernach y x berechnen, sobald die Transformation (1) vor 
gelegt ist und die Werte von x, y, y gegeben sind, ohne dabei die 
Gleichung (2) der ursprünglichen Curve c zu benutzen. 
Denken wir uns also eine zweite Curve c gegeben, welche die 
erste c in dem betrachteten Punkte (x, y) berührt, so hat sie in diesem 
Punkte dasselbe y. Durch (4) ergiebt sich daher für die Curve c x ,