Erweiterung einer Punkttransformation der Ebene. 
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Fig. 23. 
in welche c durch die Transformation übergeführt wird, in dem Punkte 
(x x , yf), der den beiden Curven c x und cf angehört, genau dieselbe 
tangentiale Fortschreitungsrichtung yf wie für die erste transformierte 
Curve c 1} d. h. auch die transformierten Curven c x und cf berühren 
sich daselbst (Fig. 23). 
Eine PunJcttransformation (1) führt diso Curven, die sich berühren, 
in ebensolche über. 
Diese Thatsache wird dem Leser schon bekannt sein, wenn wir 
auch früher nicht ausdrücklich darauf hingewiesen haben (— wohl 
aber haben wir sie in einigen geo 
metrischen Beispielen bereits stillschwei 
gend als bekannt vorausgesetzt —). Sie 
erscheint ja auch ziemlich selbstver 
ständlich. Ihre analytische Erklärung 
liegt in der Formel (4), welche die 
nicht sofort als ganz selbstverständlich 
erscheinende Thatsache ausdrückt, das 
die transformierte Richtung yf nur von 
x, y und y und natürlich der Trans 
formation (1) selbst, nicht aber von der angenommenen Curve abhängt. 
Wir werden dies Ergebnis deshalb ganz von der Annahme einer 
Curve ablösen und bedürfen dazu eines naheliegenden geometrischen 
Bildes: Wir wollen den Inbegriff eines Punktes (x, y) und einer hin 
durchgehenden Bichtung, deren Winkel mit der x-Axe die trigonometrische 
Tangente y habe, ein Linienelement nennen und x, y, y als die Bestim 
mungsstücke oder Coordinaten desselben bezeichnen. 
Unter y haben wir uns also nicht notwendig einen Differential 
quotienten vorzustellsn, sondern nur eine Zahl zur Bestimmung 
einer Richtung. Z. B. x — y = y = 0 stellt den Inbegriff des An 
fangspunktes und der durch ihn gehenden Richtung längs der x-kxe 
dar, x — 0, y = 1, y = 1 den Inbegriff des Punktes y = 1 der y-Axe 
und der hindurchgehenden zur x-Axe um einen halben rechten Winkel 
geneigten Richtung u. s. w. 
Das Linienelement (x, y, y) ist, so können wir auch sagen, der 
Inbegriff des Punktes (x, y) und der hiudurcbgehenden Richtung längs 
der Geraden, welche die Gleichung hat: 
9 — y — y (? — x ) = °> 
Linien- 
element. 
wo £, b die laufenden Coordinaten bedeuten sollen. 
Nunmehr können wir unsere frühere Betrachtung so zusammen-