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Kapitel 1, §§ 1, 2. 
Invariante 
Function. 
Rotation. 
x x = x-\- a, y x = y 
unserer Gruppe invariant bleiben, für welche also identisch 
&Oi, yi) = + «,?) = 2/) 
ist, was für einen Wert auch a haben mag, so brauchen wir, wie wir 
sehen werden, nur a unendlich klein zu wählen, also nur die infini 
tesimale Translation 12/^ — CO -{- dt, y x =y auszuführen, um die gesuchte 
Function zu bestimmen. Denn es kommt nach dem Taylor 7 sehen Satze 
durch Entwickelung nach a: 
f i'/i-i t-v- ■' t 
a d Si (x, y) 
£l(x, y) -j- 
d x 
+ JTj d ‘ a & y) +■■■ = SUx, y), : 
dx 
oder, wenn wir beiderseits R(x,y) streichen, und von Gliedern zweiter 
Ordnung in a absehen: 
d&(x, y) _ q 
dx 
Sl ist also eine Function von y allein. Umgekehrt erfüllt, wie man 
sieht, jede beliebige Function ii von y allein die obige Forderung bei 
beliebigem endlichen a. Jede Function Si («/) ist demnach eine In 
variante unserer Gruppe. Sie ändert sich nicht, wenn man anstelle 
von x, y die durch eine beliebige Translation der Gruppe bestimmten 
neuen Yeränderlichen x u y x einsetzt. Wenn man eine beliebige bei 
der Gruppe invariante Function einer Constanten gleich setzt: &{y) 
= Const., so stellt sie eine oder mehrere Bahncurven y = Const. der 
eingliedrigen Gruppe dar. Dies ist eine bemerkenswerte Thatsache, 
deren inneren Grund wir später erkennen werden. 
§ 2. Die eingliedrige Gruppe der Rotationen um einen festen 
Punkt in der Ebene. 
Wir haben eine Reihe von neuen Begriffen bei Betrachtung der 
Translationen kennen gelernt. Diese werden wir später in grösserer 
Allgemeinheit definieren und erläutern. Jetzt wollen wir ein zweites 
Beispiel vorführen, in welchem alle jene Begriffe, wenn auch in an 
derer Gestalt, wiederkehren. 
Wir unterwerfen alle Punkte der Ebene gleichzeitig ein und der 
selben Botation um einen festen Punkt, den wir zum Coordinatenanfang 
0 wählen und mit dem Drehwinkel cc, gemessen im Sinne der Drehung 
von der positiven x-Axe zur positiven y-Axe. Dadurch geht jeder 
Punkt (x, y) in einen neuen (x x , y x ) über. Dem für alle Punkte der 
Ebene gleichen Drehwinkel cc können wir einen beliebigen Wert bei 
legen. Daher giebt es oo 1 Rotationen um den festen Punkt 0. Um