Die infinitesimale Transformation der erweiterten Gruppe. 
273 
wenn man nur bei der Differentiation nach x die Veränderliche y als 
Function von x auffasst, also ~ — y setzt. 
Ci CG 
Es erscheint zweckmässig, zur Ableitung der erweiterten infini- Andere 
Ableitung 
tesimalen Transformation eine zweite Methode zu entwickeln, da sie ^eser inf. 
Transf. 
sich durch Kürze auszeichnet, wenn sie auch nicht so elementar wie 
die obige ist. Sind 
x x = (p(x, y, t), y x = f(x, y, t) 
die endlichen Gleichungen der Gruppe Uf, so sind bekanntlich | und 
t¡ als die Ableitungen von x x und y x nach t für den Wert von t, 
welcher der identischen Transformation entspricht, also etwa für 
t == 0, aufzufassen. (Vgl. § 5 des 2., § 2 des 3. Kapitels.) In den 
Incrementen: 
dx — dy = Tjöt 
oder in 
_ t S JL = V 
dt dt 1 
kann also das Zeichen d als Differentiationszeicheu nach t für t — 0 
aufgefasst werden. Nun ist: 
also 
Die Operationen d und d dürfen nach einem Satze der Variations 
rechnung vertauscht werden und es kommt also: 
, 7 Sy 7 dx 
dx • a — d'il • d -t— 
A + A f 
8 y 
dt 
dx dy 
ü u U lf 
oder wegen = s, = V : 
ây dr¡ dy dè, d r¡ , dË, 
ât dx dx dx dx ^ d x ’ 
und dies ist in der That der oben für rj' erhaltene Wert. 
1. Beispiel: Erweitert man die infinitesimale Translation: 
Beispiele. 
d_l 
dy’ 
so erhält man offenbar genau dieselbe infinitesimale Transformation, 
da hier | = 0, rj = 1, also rf = 0 ist. Andererseits wissen wir, es 
ist ~ die i: 
die infinitesimale Transformation der eingliedrigen Gruppe 
dy 
Lio, Difierentialgleicliungen. 
18