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Kapitel 13, § 4. 
dip . dip , 
Wx ~di y 
X 1 = <p( x , y), Vi = H x , y); y( = dV~Tv~, ’ 
dx~^~ dy y 
nl£To. die a ^ er nichfcs anderes ist als die Erweiterung der Punkttransfor- 
bei erweitei’-,-,-,Qbiz-.vi 
ter Punkttrf. m a t 10n • 
Dies Ergebnis ist ganz unabhängig davon, ob die betreffende 
Differentialgleichung in aufgelöster Form 
Xy — F= 0 
vorliegt, wie in der 2. Abteilung, oder nicht. Es gilt daher all 
gemein der 
Satz 4: Eine Differentialgleichung erster Ordnung 
&(E,y,y) = 0 
zwischen x, y gestattet die Punkttransformation 
Xi = (p{x,y), y x = y>{x, y) 
dann und nur dann, wenn die Gleichung 
&ip,y,y) = 0 
in den drei Veränderlichen x, y, y die erweiterte Transformation 
V&y), t/i = t}>(x, y), y- x ' = ^ 
dip , dip , 
dx+dy y 
dx dy y 
zulässt. 
Dieser Satz hat einen einfachen geometrischen Sinn: Dass nämlich 
die Punkttransformation x x — qp, y x = die Differentialgleichung 
ii = 0 in sich überführt, bedeutet ja, dass sie ihre Integralcurven 
unter einander vertauscht. Dass andererseits die erweiterte Trans 
formation die Gleichung Sl = 0 invariant lässt, heisst, dass sie ihre 
oo 2 Linienelemente unter einander vertauscht. Der aufgestellte Satz 
beruht nun darauf, dass die erweiterte Transformation nach Satz 1 
(§ 1) die oo 1 Linienelemente einer Integralcurve in die oo 1 Linien 
elemente derjenigen Integralcurve überführt, in welche die erstere Curve 
vermöge der Punkttransformation x x = cp, y x — ip übergeht. 
Wenn wir nunmehr verlangen, dass die vorgelegte Differential 
gleichung 
(10) Sl{x, y, y) = 0 
alle Transformationen der von der infinitesimalen Transformation 
TTr—tdf , „„ df