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Kapitel 13, § 5. 
so ergiebt sich, wenn man wieder c = u(x,y) setzt und dann nach y 
auf löst, das gesuchte zweite, y enthaltende Integral v{x, y, y) des 
simultanen Systems (11) und also auch die allgemeine Gleichung 
v — f(u) = 0. 
Theorem 22: Ist die infinitesimale Transformation Uf einer 
eingliedrigen Gruppe der Ebene (x, y) gegeben und kennt man 
die JBahncurven u(x, y) — Const. dieser Gruppe, so kann man 
durch Quadraturen alle Differentialgleichungen erster Ord 
nung zwischen x, y auf stellen, ivelche die eingliedrige Gruppe 
Uf gestatten. Jede derartige Differentialgleichung lässt sich 
durch Quadratur integrieren. 
Der letzte Zusatz ist nach Theorem 8 (§ 1 des 6. Kap.) selbst 
verständlich. 
Bestimmung Dass die Kenntnis der Bahncurven u = Const, zur Bestimmung 
d. 2. Inv. auf ° 
anderem aller bei Uf invarianten Differentialgleichungen erster Ordnung ver- 
mittelst Quadraturen hinreicht, kann man noch einfacher so erkennen. 
Wir wissen, dass, wenn die Bahncurven u — Const, der Gruppe 
Uf bekannt sind, durch Quadratur neue Veränderliche £, l) eingeführt 
werden können, welche Uf auf die canonische Form bringen (Satz 4 
des § 2, 3. Kapitel). Alle Differentialgleichungen 
früher bemerkten (vgl. 1. Beispiel des § 3, 8. Kap.), dargestellt durch 
die Gleichung: 
Nun sind £ und b bekannte Functionen von x, y\ diese Gleichung lässt 
sich daher so schreiben: 
und dies wäre die allgemeine Form v — f\u) — 0 einer Differential 
gleichung erster Ordnung, welche die Gruppe Uf gestattet. 
Offenbar ist t) identisch mit dem früheren u und dementsprechend 
ist die Grösse