Eingliedrige Gruppe in n Veränderlichen. 
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Nunmehr gehen wir einen entgegengesetzten Weg: Wir nehmen Constr. e, 
an, nicht eine Gruppe, sondern eine infinitesimale Transformation sei aus e. inf. 
Trf. 
Wir werden eine eingliedrige Gruppe construieren, welche eben diese 
infinitesimale Transformation besitzt. 
Zu dem Zweck integrieren wir das simultane System: 
■ * X n ) ^2 G'l J #2 ‘ ' ’ X n ) O®! 1 ) 
in den n + 1 Veränderlichen x X} x 2 ' • • • x n ' und t. Ein solches System 
integrieren heisst, etwa x x , x 2 • • • x n ' als Functionen von t be 
stimmen, sodass sie diese n Gleichungen (7) identisch erfüllen. Wie 
bekannt, lassen sich über die Anfangswerte, welche x X} x 2 • • • x n ' für 
t — 0 haben, noch Voraussetzungen treffen. Wir wollen die Anfangs 
bedingung vorschreiben, dass sich x x , x 2 ' • ■ • x n ' für t = 0 auf die als 
Integrationsconstanten zu betrachtenden Grössen x x , x 2 • • • x n redu- 
cieren. Alsdann ergeben sich gewisse n Integralgleichungen von 
der Form: 
x x = & x (x x , x 2 • • • Xn, t), X 2 = x 2 • • • x n , t) • • • 
x n — ^ n {x x , x 2 • • • x n , Q. 
Diese Gleichungen stellen nun auch eine Transformation der Ver 
änderlichen x x , x 2 • • • x n in die neuen Veränderlichen x x , x 2 • • • ■#„' 
dar. Da sie noch t enthalten, so haben wir, weil wir t beliebig als 
Constante annehmen können, hiermit oo 1 Transformationen erhalten. 
t — 0 giebt insbesondere die identische x k — x k . 
Wir behaupten, dass diese oo 1 Transformationen (8) eine Gruppe 
bilden. In der That erkennt man dies durch näheres Eingehen auf 
die Integration des simultanen Systems (7): Zunächst besitzt (7) n — 1 
von einander unabhängige und von t freie Integrale: 
(, X 1 } X 2 ’ ’ * Xn ); * ’ * ß?l—1 ; *^2 ’ " " Xn )* 
Um ein letztes, t enthaltendes Integral zu finden, wird man vermöge: 
ßj (X x • • • Xn ) — C x , • • • iQ/ n — x (äC x ’ • • Xn ) Cn—1 
etwa x 2) x 3 • • • x n ' als Functionen von x x und den Constanten c x , 
c 2 • • • 1 darstellen und sie danach aus 
dx v 
eliminieren. Dann wird die linke Seite eine Function von x x und 
den Constanten c x , c 2 • • ■ c n —1 und eine Quadratur giebt ein Integral 
von der Form F(x x , c x , c 2 • • • c„_i) — t Wenn man hierin wieder