Die Bahncurven und Invarianten einer eingliedrigen Gruppe. 
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Satz 10: Die Bahncurven einer eingliedrigen Gruppe ordnen ihren 
Punkten gerade die Sichtungen zu, welche ihnen vermöge der infinitesimalen 
Transformation der Gruppe zugehören. 
Die Bahncurven sind also die oo n —1 Integralcurven des simultanen 
Systems: 
dx 1 dx 2 dx n 
£1 0*1 ' ■ ’ ■*«) £2 0*1 * ’ ’ **«) £«(*1 ' ’ ‘ X n) 
oder, was auf dasselbe hinauskommt, die oo w 1 Charakteristiken 
linearen partiellen Differentialgleichung: 
ÈL + 
2 8x 0 ' 
. . 1L 
+ s» dx„ 
0. 
der 
Allerdings haben wir bisher über die Interpretation und Integration 
derartiger simultaner Systeme und linearer partieller Differentialgleichungen 
in beliebig vielen Veränderlichen noch nicht gesprochen. Wir werden dies 
hier kurz nachholen, indem wir die analytische Theorie dieser Gleichungen 
als bekannt voraussetzen. 
Ein simultanes System: 
(10) 
dx, 
dx 2 
dx„ 
£10*1 ' ' ’ X n) -2 0*i ' ’ ’ X n) 
tn( X 1 ■ • • X n) 
integrieren heisst bekanntlich, etwa x 2 • • • x n als Functionen von x x be 
stimmen, sodass sie identisch für alle Werte von x x die Gleichungen (10) 
befriedigen. Diese Functionen enthalten noch n — 1 willkürliche Con- 
stanten. Deuten wir x x , x 2 • • • x n als Punktcoordiuaten in einem Raume 
von n Dimensionen, so handelt es sich also darum, gewisse Curven in 
demselben zu finden, nämlich die, deren Eichtungscosiuus proportional 
£1, £2 ‘ sind. Geometrisch erhalten wir diese Integralcurven, indem 
wir von einem Punkte ausgehend der ihm jeweils durch das simultane 
System zugeordneten Richtung folgen. Durch jeden Punkt allgemeiner 
Lage im Raume geht also eine Integraleurve und es giebt im ganzen 
oo"~ 1 Integralcurven. Bekanntlich nennt man eine Function u{x x • • • x n ) 
ein Integral des simultanen Systems (10), wenn jede Mannigfaltigkeit 
u = Const. von Integralcurven erzeugt wird, wenn also jede Integraleurve, 
die durch einen Punkt dieser Mannigfaltigkeit hindurchgeht, ganz in der 
selben enthalten ist. Dies tritt ein, wenn die durch einen beliebigen 
Punkt (x x • • • x n ) der Mannigfaltigkeit u = Const. gehende Integraleurve 
daselbst eine Tangentialrichtung (£ 15 £ 2 • • • ij„) besitzt, welche die Mannig 
faltigkeit u — Const, berührt, wenn also identisch 
du 
2 dx 2 
+ • • * + £« 
du 
dx 
n 
= 0 
ist. n — 1 von einander unabhängige Integrale u x • • • u n —1 des Systems 
(10) genügen zur Bestimmung aller oo re—1 Integralcurven, die durch die 
Gleichungen 
u x — Const., u 2 = Const, M n —1 = Const. 
gegeben werden. Die Gleichung 
Simultanes 
System. 
Integral- 
curve. 
Integral.