Die Bahncurven und Invarianten einer eingliedrigen Gruppe. 
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gleichung Uf = 0. Jede Invariante ist also darstellbar als 
Function von irgend welchen n—1 von einander unabhängigen 
Invarianten, 
Geometrisch gedeutet stellt die Gleichung ß — Const. eine Schar von 
oo 1 (n — l)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten dar. Ist ß eine In 
variante, so bleibt jede dieser Mannigfaltigkeiten für sich bei allen Trans 
formationen der Gruppe Uf invariant. Jede dieser Mannigfaltigkeiten wird 
erzeugt von oo n ~ 2 Charakteristiken der linearen partiellen Differential 
gleichung Uf = 0, d. h. von oo™ -2 Integralcurven des simultanen Systems 
(10) oder also von oo” —2 Bahncurven der eingliedrigen Gruppe Uf. 
Wir sagen wie früher, eine Gleichung 
H(x x , x 2 • • • x n ) = 0 
gestatte eine Transformation, welche die Wertsysteme (x x • ■ • x n ) in 
die Wertsysteme (#/•• ■ x n ') überführt, wenn die Transformation jedes 
Wertsystem (x x • • • x n ), für das ß = 0 ist, in ein solches (xf • • • x n ') 
transformiert, für welches ebenfalls ß(xf ■ ■ • xj) — 0 ist, mit anderen 
Worten: Die Gleichung ß^ • • • x n ) = 0 ist bei der betreffenden 
Transformation invariant, wenn die Gleichung diese nach sich zieht: 
H{xf • • • Xn) = 0. 
Fragen wir uns, ob und welche Gleichungen H{x x - ■ • x n ) — 0 es 
giebt, welche alle Transformationen der eingliedrigen Gruppe üf ge 
statten. Da bei einer beliebigen Transformation der Gruppe nach 
Theorem 26 des § 2 
ß(a/ • • • Xn) = ■■■x.) + \ Pß(% ■••».) + ü(VO) + ■■ ■ 
ist und dies also gleich Null sein soll, sobald fl(x x • • • x n ) = 0 ist, und 
zwar für jedes t, so ergiebt sich als eine notwendige Bedingung, dass 
ÜH(x x • • • x n ) — 0 sein muss vermöge ß^ • • • x n ) — 0. Auch ist 
dies Kriterium hinreichend. 
Das Verschwinden von UH vermöge ß = 0 kann nämlich auf 
zweierlei Weisen eintreten. Es ist ja 
4-5 1®. 
dx, 1 t S. g x 
Invariante 
Gleichung. 
UH = 
.da , t da . 
;i dx t * 2 ■" 
Es ist zunächst denkbar, dass | x , | 2 • • • sämtlich verschwinden 
vermöge ß = 0. Alsdann ist jedes Wertsystem (x x • • • x n ), welches 
die Gleichung ß = 0 erfüllt, für sich invariant; gleichzeitig bleibt 
auch die Gleichung ß = 0 invariant. Oder aber % 2 • • • ver 
schwinden nicht sämtlich vermöge ß = 0. In diesem Falle bleibt 
nicht jedes Wertsystem (x x • • • x n ), welches ß = 0 macht, für sich 
invariant, sondern wird durch die Transformationen der Gruppe im