1 
allgemeinen in neue Wertsysteme (#/•••#„') übergeführt. Sind nun 
ß t • • • H n ein System Lösungen der linearen partiellen Differential 
gleichung 
Uf= P- + j- | Ä P- = 0, 
so kann bekanntlich die Gleichung ß = 0, die ja UH = 0 macht, die 
F orm 
n{H x • • • ß„_i) = 0 
erhalten. Sie bleibt daher invariant bei jeder endlichen Transformation 
unserer eingliedrigen Gruppe, die ja auf die Form 
ß» (X\ ‘ ‘ ’ X n ) H{(xj • • • xf) , 
W(xf- • • x n ') = W{x [ • • • O + i 
reducibel ist. 
Wir erkennen hiermit, dass das Verschwinden des Ausdrucks 
UH vermöge ß = 0 nicht allein ein notwendiges, sondern zugleich 
ein hinreichendes Kriterium für die Invarianz einer Gleichung ß = 0 ist. 
Theorem 28: Es gieht zwei Arten von Gleichungen 
H{x x • • • x n ) = 0, 
ivelche hei einer eingliedrigen Gruppe TJf in den n Veränder 
lichen x 1 ■ • ■ x n invariant hleihen. Entweder bleiben alle Wert 
systeme (x l - • • x„), welche ß = 0 machen, für sich invariant 
oder nicht. In beiden Fällen ergiebt sich als Invar ianzkrite- 
rium, dass UH = 0 sein muss vermöge ß = 0. 
Geometrisch gedeutet haben diese beiden Möglichkeiten folgenden 
Sinn: ß = 0 stellt eine (n —• l)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit dar. 
Soll dieselbe bei der eingliedrigen Gruppe Uf invariant bleiben, so muss 
diese jeden Punkt (x x • • • x n ) derselben wieder in Punkte derselben über 
führen. Da aber der Punkt bei allen Transformationen der Gruppe immer 
nur in Punkte seiner Bahncurve übergeht, so folgt, dass die invariante 
Mannigfaltigkeit ß = 0 im allgemeinen von Bahncurven erzeugt sein 
muss. Nur, wenn kein Punkt der Mannigfaltigkeit eine Bahncurve hat, 
d. h. wenn alle Punkte der Mannigfaltigkeit für sich invariant bleiben, ist 
dem nicht so. Es ist dies der Fall, in welchem alle Punkte (x x • • • x n ) 
von ß = 0 die Coefficienten • • • §„ einzeln gleich Null machen. 
Es ist naturgemäss, zu sagen, dass die Gleichung ß = 0 bei der 
infinitesimalen Transformation üf invariant bleibt, sobald die Änderung, 
welche Uf ihrer linken Seite erteilt, UHöt, vermöge der Gleichung 
selbst auch Null ist, d. h, sobald UH vermöge ß = 0 verschwindet. 
Unser Kriterium kann daher auch so ausgesprochen werden: 
Satz 11: Eie Gleichung H(x x - • • x„) — 0 gestattet alle Transforma 
tionen der von der infinitesimalen Transformation Uf erzeugten eingliedrigen