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Kapitel 14, § 4. 
Aber wegen des obigen Wertes von f ist hierin zu setzen: 
f = f+{Uf+£ l U(jnf) + --; 
Vf=Vf+{Y{üf) + ---, 
F(F/')=F(F/) + .--, 
? 
sodass sich ergiebt: 
f=f+\ üf+^ü{Uf) + --- 
+ T \rt+Thn u n + --- 
+ *W) + • • •• 
Hierin haben wir nur die Glieder geschrieben, welche in t und x 
vom 0., 1. und 2. Grade sind. Lassen wir die unbequemen Klammern 
weg und ordnen wir die Glieder anders, so kommt offenbar: 
r=Bf+~(tUf+ tVf) + ^ (?UDf+ 2tvVUf+ t*TVf) + 
+ T ±r t <.*UUUf+6*rUUf+MV7Uf+*r7rf)+... 
» 
und die Gesetzmässigkeit leuchtet ein. 
Wenn wir aber nun umgekehrt auf f zunächst T ausführeu, so 
geht f über in f. Wird dann erst S ausgeübt, so ergiebt sich eine 
Function die offenbar ganz analog wie f" gebaut ist, nur dass U 
und V und t und r darin zu vertauschen sind. So kommt: 
f=f+ Y 0Vf + tUf) + ~{z 2 rrf+ 2rtUVf+ nJüf) + 
+ 1-2.3 ( r3 rFF/'+ 3tHürVf+ $ri 2 UUrf+ t s UUÜß + -, 
Wir fragen uns nun, wann f' und f für alle Parameterwerte t, 
x, d. h. für alle Transformationen S, T der beiden Gruppen Uf‘ Vf 
einander gleich sind, wie auch die Function f gewählt sein mag. 
Zunächst stimmen die erhaltenen W T erte in den Gliedern nullter und 
erster Ordnung in t 7 x überein. Die Differenz der Glieder zweiter 
Ordnung hat den Factor; 
VUf— UVf 
Dies aber ist nichts anderes als der Klammerausdruck (Vü\ den wir 
in § 3 des 10. Kapitels in n Veränderlichen entwickelt haben. 
Als erste notwendige Bedingung dafür, dass ST — TS ist, ergiebt 
sich also: 
(UV) = 0.