Deutung der Beziehung: (UV) — 0. 
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Wenn umgekehrt diese Bedingung erfüllt ist, so ist nun auch f" = f. 
Es stimmen dann nämlich die Glieder nullter, erster und zweiter Ord 
nung in t, x überein. Die Differenz des Gliedes dritter Ordnung ist 
t ll(VÜUf— UÜVO + ^iVVÜf- UV Vf). 
Sie ist Null, weil wegen (ÜV) = 0 überall FZ7 durch UV ersetzt 
werden kann. Dasselbe gilt für die Differenzen der Glieder höherer 
Ordnung. 
Satz 12: Die endlichen Transformationen S, T zweier von Uf und 
Vf erzeugter eingliedriger Gruppen sind dann und nur dann mit ein 
ander vertauschbar: ST — TS, wenn der Klammerausdruck 
{UV) = U{Vf) — V{Uf) = 0 
ist 
Wie schon bemerkt, ist die Reihenfolge zweier infinitesimaler 
Transformationen für das Ergebnis stets gleichgültig, solange man 
die unendlich kleinen Glieder höherer Ordnung nicht berücksichtigt. 
Wir wollen nun insbesondere aber Uf und Vf vertauschbar nennen, 
wenn jede endliche Transformation der von Uf erzeugten Gruppe mit 
jeder der von Vf erzeugten in der Reihenfolge vertauschbar ist, d. h. 
wenn die Beziehung {UV) = 0 besteht. 
Wenn Vf = Uf wäre, so würden S, T endliche Transformationen 
derselben eingliedrigen Gruppe sein. Da {UU) = 0 ist für jedes Uf, 
so folgt, dass zwei Transformationen ein und derselben eingliedrigen 
Gruppe stets mit einander vertauschbar sind. Dies Resultat hätten wir 
übrigens auch aus Theorem 24 des § 1 ohne weiteres entnehmen 
können. 
1. Beispiel: Sei 
so ist: 
Uf ist eine infinitesimale Rotation, 
Vf eine infinitesimale Ähnlichkeits- 
transformation vom Anfangspunkt 
aus. Es ist demnach bei der Auf 
einanderfolge einer Rotation um den 
ip)ST(p)T'S 
* (p)r 
Anfangspunkt und einer Ähnlich- 
keitstransformation vom Anfangs- Flg - 28 - 
punkt aus die Reihenfolge beider gleichgültig. In der That erhellt 
dies auch sofort geometrisch. (F 'ig. 28.)