Lineare partielle Differentialgleichungen, welche endliche Transf. gestatten. 309 
beliebig vieler Veränderlicher. Doch werden wir mehrere Male die 
Betrachtungen für den Fall dreier Yariabeln specialisieren, um sie 
möglichst anschaulich zu machen. 
§ 1. Lineare partielle Differentialgleichungen, welche endliche 
Transformationen gestatten. 
Es sei vorgelegt eine lineare partielle Differentialgleichung 
cf , df , , 
CC. K— «O ö— “T • * • *7“ M n 
1 dx x ' * dx 2 1 1 
cf 
cx„ 
0, 
wo « x , « 2 ■ ■ ' a n gegebene Functionen von x 1} x 2 • • • x n bedeuten und 
die linke Seite, da sie die Form eines Symbols einer infinitesimalen 
Transformation hat, auch durch das Zeichen einer solchen ausgedrückt 
werden kann. Wir wollen sie H/* neunen, sodass die Gleichung lautet: 
** df , cf . 
Af = cc, o— -4- cc 2 - \- 
1 1 cx x 1 z ex 2 1 
, df 
+ a>l d^ 
Wie bekannt, besitzt sie n — 1 von einander unabhängige Lö 
sungen f — iOj, « 2 • • • co n —i und jede andere ihrer Lösungen ist eine 
Function dieser. Hervorheben wollen wir noch, dass die Differential 
gleichung Af = 0 durch Angabe n — 1 von einander unabhängiger 
Lösungen derselben völlig, nämlich bis auf einen unwesentlichen Factor, 
der sich fortheben lässt, bestimmt wird. Demi es ist ja jedes io ; = 0 
und also können wir aus den n— 1 Gleichungen: 
Aco 1 
ca j 
dx x 
+ K 2 
C a), 
dx» 
d(o t 
dx„ 
= 0, 
CCO y 
dx x 
+ 
d(o M 
d Xa 
cx„ 
den Schluss ziehen, dass sich a 1} cc 2 • • • cc n zu einander verhalten wie 
die (n — l)-reihigen Unterdeterminanten der Matrix: 
dco 1 
dco 1 
dco 1 
dx t 
dx 2 
* dx n 
da n-1 
dc0 n-l 
dc0 n-l 
dx x 
dx s 
Sie sind demnach durch (o 1} co 2 ■ ■ ■ co n —\ bis auf einen gemeinsamen 
Factor völlig bestimmt. 
Die betreffende lineare partielle Differentialgleichung Af = 0 hat 
daher die Form