Kriterium dafür, dass Af — 0 eine eingliedrige Gruppe Uf gestattet. 313 
§ 2. Kriterium dafür, dass Af = 0 eine eingliedrige Gruppe Uf 
gestattet. 
Es sei wieder die lineare partielle Differentialgleichung 
Af — 0 
vorgelegt und es sei Uf die infinitesimale Transformation einer ein 
gliedrigen Gruppe in x 1} x 2 • • • x n . Die endlichen Gleichungen dieser • 
Gruppe lauten (nach Theorem 26, § 2 des 14. Kap.): 
(2) 
(* = 1, 2 • • • n). 
Wir werfen die Frage auf, wann die lineare 'partielle Differential 
gleichung Af = 0 alle Transformationen der eingliedrigen Gruppe Uf 
gestattet. 
Es mögen ca 1; co 2 • • • co n —i n — 1 von einander unabhängige Lö 
sungen der Gleichung Af — 0 sein. Nach den Entwickelungen des 
vorigen Paragraphen gestattet Af = 0 die allgemeine Transformation 
(2) der Gruppe Uf dann und nur dann, wenn jedes geschrieben 
in den neuen Veränderlichen xf • • • xf, die Form hat: 
(Oi{xf • • • Xn) = Wifafa • • • X n ), • • • COn-xfa • • • Xn)) 
(i = 1, 2 • • • n — 1). 
Es lässt sich aber die linke Seite nach Theorem 26 entwickeln nach t, 
sodass kommt: 
G)i(x x •••#«) + y i • *' x n) 4 Wi(a>i(a?) • • • co n -i(x)). 
Da eine solche Relation identisch bestehen soll für jedes t, so folgt 
zunächst als notwendige Bedingung, dass die Uai die Form haben; 
U(Oi = ■ • • GJn-1) 
(» = 1, 2 ■ • • « — 1). 
(3) 
Dies Kriterium ist aber auch hinreichend, denn nun ist auch 
d. h. ebenfalls eine Function von (o 1 • • • a n —i allein, u. s. w. 
Satz 3: Die lineare partielle Differentialgleichung Af=0 gestattet 
alle Transformationen der eingliedrigen Gruppe Uf dann und nur dann, 
tvenn n — 1 von einander unabhängige Lösungen a 1 • •• i der Differen 
tialgleichungen Delationen erfüllen von der Form: 
Ucoi = ß,-( 03 1 • • • co n —i)