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Kapitel 15, § 2.
Beispiele.
Wie im Falle zweier Veränderlicher (§ 2 des 6. Kap.) liegt offenbar
auch hier in n Veränderlichen die Redeweise nahe: Die Differential
gleichung Af= 0 gestattet die infinitesimale Transformation Uf, sobald
Uco l ••• UcOn—i sämtlich wieder Lösungen, also Functionen von oj 1 ••• ra B _i
sind. Daher können wir Satz 3 auch so aussprechen:
Satz 4: Die Differentialgleichung Af = 0 gestattet die eingliedrige
Gruppe Uf, sobald sie ihre infinitesimale Transformation Uf selbst zidässt.
1. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung
d£
dx„
Af — — 4- —- 4- — = 0
' dx, ' cx 9 ^
gestattet die eingliedrige Gruppe:
Vf
_ df
x
df
4- x. 2 4- x.
i - r m. *
OX 1 ' "* CXz
denn Af besitzt das Lösungensystem:
to, = x x — x. 2 , co 2
cf
dx,.
Oü-i OOo
und es ist:
Uco x
X,
x t = ca lf Uco 2 = co 2 .
Auch geometrisch ist dies einzusehen, denn die Charakteristiken von
Af — 0 sind, wenn x x , x 2 , x 3 rechtwinklige Punktcoordinaten bedeuten,
alle Geraden
x x — x 2 = Const., x x — x 3 = Const.,
d. h. alle Geraden parallel der Geraden
/y» ■ ■ — /y* — /y»
iX/-£ ' iA/2 ' «A/g •
Die von den Charakteristiken erzeugten Flächen sind also Cylinder-
flächen. Offenbar werden dieselben von jeder Transformation der ein
gliedrigen Gruppe Uf, nämlich von den Ähnlichkeitstransformationen
vom Anfangspunkt aus, in ebensolche übergeführt.
2. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung
df
Af= x 9 ö -
1 2 dxj
df n
Xi — = 0
1 cx 9
gestattet dieselbe eingliedrige Gruppe:
U f = ^ + ** W, + XS '
Af = 0 besitzt nämlich die Lösungen:
x = x x 2 + x 2 2 , G9 2 = x 3
und es kommt:
Uco x = 2x x -f- 2x 2 = 2co { , U(o 2 = x 3
Interpretiert man die Differentialgleichung Af = 0 geometrisch, so
findet man, dass ihre Charakteristiken die Kreise sind, deren Mittel
03 g