Full text: Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen

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Kapitel 15, § 2. 
Beispiele. 
Wie im Falle zweier Veränderlicher (§ 2 des 6. Kap.) liegt offenbar 
auch hier in n Veränderlichen die Redeweise nahe: Die Differential 
gleichung Af= 0 gestattet die infinitesimale Transformation Uf, sobald 
Uco l ••• UcOn—i sämtlich wieder Lösungen, also Functionen von oj 1 ••• ra B _i 
sind. Daher können wir Satz 3 auch so aussprechen: 
Satz 4: Die Differentialgleichung Af = 0 gestattet die eingliedrige 
Gruppe Uf, sobald sie ihre infinitesimale Transformation Uf selbst zidässt. 
1. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung 
d£ 
dx„ 
Af — — 4- —- 4- — = 0 
' dx, ' cx 9 ^ 
gestattet die eingliedrige Gruppe: 
Vf 
_ df 
x 
df 
4- x. 2 4- x. 
i - r m. * 
OX 1 ' "* CXz 
denn Af besitzt das Lösungensystem: 
to, = x x — x. 2 , co 2 
cf 
dx,. 
Oü-i OOo 
und es ist: 
Uco x 
X, 
x t = ca lf Uco 2 = co 2 . 
Auch geometrisch ist dies einzusehen, denn die Charakteristiken von 
Af — 0 sind, wenn x x , x 2 , x 3 rechtwinklige Punktcoordinaten bedeuten, 
alle Geraden 
x x — x 2 = Const., x x — x 3 = Const., 
d. h. alle Geraden parallel der Geraden 
/y» ■ ■ — /y* — /y» 
iX/-£ ' iA/2 ' «A/g • 
Die von den Charakteristiken erzeugten Flächen sind also Cylinder- 
flächen. Offenbar werden dieselben von jeder Transformation der ein 
gliedrigen Gruppe Uf, nämlich von den Ähnlichkeitstransformationen 
vom Anfangspunkt aus, in ebensolche übergeführt. 
2. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung 
df 
Af= x 9 ö - 
1 2 dxj 
df n 
Xi — = 0 
1 cx 9 
gestattet dieselbe eingliedrige Gruppe: 
U f = ^ + ** W, + XS ' 
Af = 0 besitzt nämlich die Lösungen: 
x = x x 2 + x 2 2 , G9 2 = x 3 
und es kommt: 
Uco x = 2x x -f- 2x 2 = 2co { , U(o 2 = x 3 
Interpretiert man die Differentialgleichung Af = 0 geometrisch, so 
findet man, dass ihre Charakteristiken die Kreise sind, deren Mittel 
03 g
	        
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