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Kapitel 15, § 5, 
TT f t df , df , p df 
U ^=^dx^ ^Yy^ & dz’ 
jj r t df - df . 9 df 
U .f^ rx + n.Jy + l^ 
gestattet, von denen vorausgesetzt wird, dass sie mit Af keine lineare 
Relation eiugehen, sodass also die Determinante 
X Y Z 
Vi £i 
^2 V‘2 
ist. Nach unserem Theorem ist der reciproke Wert dieser Deter 
minante ein Multiplicator von Af = 0. Sie hat nun auch eine geo 
metrische Bedeutung: U{f und U 2 f nämlich erteilen dem Punkte 
Po i x > Vi z) infinitesimale Fortschreituugsstrecken 8 x s, d 2 s mit den 
Projection«! 
Ii8t, r^St, t t 8t, 
l 2 8t, V2 8t, £ 2 8t 
auf die Axen. Auch Af, als infinitesimale Transformation aufgefasst, 
erteilt dem Punkte p 0 eine Fortschreitungsstrecke d 0 s mit den Pro- 
jectionen 
X8t, Y8t, Z8t. 
Diese drei Fortschreitungen 8 0 s, 8 1 s, 8 2 s bilden nach § 4 eine räum 
liche Ecke und bestimmen daher ein Parallelepiped, dessen Inhalt 
nach einem Satze der analytischen Geometrie eben jene obige Deter 
minante ist, allerdings noch multipliciert mit 8t 3 . Der Multiplicator 
ist demnach, bis auf dt 3 , gleich dem reciproken Werte des Inhaltes 
jenes Parallelepipeds. 
Diese geometrische Deutung wollen wir nun gänzlich von der 
Annahme infinitesimaler Transformationen befreien. Zunächst denken 
wir uns die Charakteristik k 0 des Punktes p 0 gezogen. 8 t s führt p 0 
in einen benachbarten Punkt p t , 8 2 s in einen benachbarten p 2 über. 
Auch die durch p t und p 2 gehenden Charakteristiken k t und k 2 denken 
wir uns gezogen. Die vierte Ecke des von p x , p 0 , p 2 bestimmten 
Parallelogramms sei p 3 und die hindurchgehende Charakterisik k 3 . Da 
8 0 s Tangente an k 0 ist, so ist unser Parallelepiped zwischen jene vier 
Charakteristiken k 0 , k 1} k 2 , /% eingelagert (Fig. 30). Wenn wir über 
haupt alle Charakteristiken ziehen, welche von den Seiten des Pa 
rallelogramms PqPiPsPz ausgehen, so erhalten wir eine unendlich dünne 
von Charakteristiken erzeugte Röhrenfläche. Wir bemerken nun, dass 
wir statt dieser Röhrenfläche, deren Querschnitt ein Parallelogramm 
ist, jede andere von Charakteristiken erzeugte unendlich dünne Röhren-