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Kapitel 15, § 5. 
Beispiele. 
und so erhält man andererseits aus einem Multiplicator alle Multipli- 
catoren von Af — 0. Also hat sich ergeben: 
Satz 9: Zerlegt man den Baum {x, y, z) vermöge der oo 2 Charak 
teristiken der Gleichung 
Af. 
X V' + Y ^ ^ ' )f 
d x 
dz 
0 
in irgend ivelcher Weise in unendlich viele unendlich dünne von Charak 
teristiken umschlossene Böhrenflächen und schneidet man an der Stelle 
(x, y, z) aus der betreffenden Böhrenfläche ein Baumelement 
von der auf den Charakteristiken gemessenen Länge 
Big. 32. 
]/X 2 + Y 2 + Z 2 dt, 
p deren Projectionen auf die Axen gleich Xdt, Ydt, Zdt 
^ sind, heraus, so ist der reziproke Wert des Inhaltes dieses 
Baumelementes bis auf die unendlich kleine Grösse dt s ein 
Multiplicator der Gleichung Af — 0, und umgekehrt findet 
man auf diese Weise jeden Midtiplicator der Gleichung 
Af — 0. (Fig. 32.) 
1. Beispiel: Wir entnehmen ein Beispiel hierzu der Kinematik. 
Angenommen, der Raum sei von einer incompressibelen Flüssigkeit er 
füllt und es seien: 
dx dy dz 7 , 
X=~Y- = -Z= dt 
die Differentialgleichungen für die Bewegung des Flüssigkeitstheilchens 
(x, y, z) in der Zeit t. Wir wollen voraussetzen, die Strömung sei 
stationär, d. h. die Geschwindigkeitscomponenten X, Y, Z seien nur 
Functionen des Ortes, frei also von der Zeit t. Dann bilden die 
Gleichungen 
dx dy dz 
~X ~ ~t = ~Z 
für sich ein simultanes System mit der zugehörigen linearen partiellen 
Differentialgleichung 
Af= X~ Y.^f-+ Z p-= 0. 
Um einen Multiplicator derselben zu finden, betrachten wir irgend 
einen unendlich kleinen an der Stelle (x, y, z) befindlichen Quer 
schnitt c der Flüssigkeit. Durch denselben gehen Strömungslinien 
(Charakteristiken der Gleichung Af = 0) hindurch, die einen Flüssig 
keitsfaden bilden. Da die Flüssigkeit incompressibel sein soll, so 
muss die Flüssigkeitsmenge, die in der Zeit dt durch c hindurchgeht,