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Kapitel 16, § 1. 
a x = A [a, &), b x — B{a, b). 
Unsere Curve (a, b) wird alsdann in die Curve (a x , b x ) der Schar über 
geführt. 
Wir können dies offenbar auch so aussprechen: Die Transformation 
von x, y, a, b in x x , y x , a x , b x : 
x x — 9 ) { x ) v)> Vx — V)i a x — A{a, b), b x = B{a, b) 
muss die Gleichung 
co(x, y, a, b) = 0 
invariant lassen, d. h. sie in 
(x 1 ,y 1> a x , b x ) = 0 
überführen. Daher: 
Eine Schar von oo 2 Curven 
o) (x, y, a, b) = 0 
gestattet dann und nur dann die Transformation 
x x = cp(x, y), y x = ty(x, y) 
wenn es möglich ist, zwei Functionen A{a, ft) und B(a, b), die x, y nicht 
enthalten, derart anzugeben, dass die Gleichung 
(x, y, a, b) — 0, 
auf gefasst als Gleichung zivischen vier Veränderlichen x, y, a, b, die Trans 
formation 
x x — cp (x, y), y x — f (x, y), = A (a, &), b x = B {a, b) 
gestattet. 
Betrachten wir das zuerst benutzte Beispiel: Die Schar der oo 2 Geraden 
Beispiel. 
co —y — ax — b = 0 
der Ebene gestattet die Rotation: 
x x = x cos cc — y sin cc, y x — x sin cc -j- y cos cc, 
denn die Transformation von x, y, a, b in x x , y x , a i , b x : 
x x = x cos a — y sin u, y x — x sin a -f- y cos cc, 
sin cc -f- a cos a h 
führt die Gleichung y — ax — b = 0 bis auf einen unwesentlichen Factor 
über in y x — a x x x — b x — 0. In der That wird: 
y x — a x x x — b x = x sin cc —(- y cos a 
h 
sin cc -\-a cos cc 
(x cos a — y sin n) — 
cos cc — a sin cc 
1 
{y — ax — b). 
cos « — a sin a cos 
cos cc — a sin cc 
Eine Schar von oo 2 Curven der Ebene 
co (x, y, a,h)~ 0