Scharen v. oo 2 Curven u. Diffglgn. 2. 0., welche e. Punkttrf. gestatten. 351 
kann auch durch ihre Differentialgleichung definiert werden. Eine 
Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen x, y hat ja oo 2 Inte 
gralcurven, und umgekehrt lässt sich jede Schar ra {x, y, a, &) = 0 als 
die Schar der Integralcurven einer solchen Differentialgleichung auf 
fassen. 
Wenn wir nämlich die drei Gleichungen bilden: 
(1) n(x,y,a,h) = 0, = 0, 
indem wir bei der Differentiation die Grösse y als Function von x 
auffassen, und hieraus a und & eliminieren, so geht die Differential 
gleichung 
hervor, deren Integralcurven durch die Schar ra = 0 dargestellt werden. 
Wir wollen nun vermöge einer Punkttransformation 
Xi = 9?0, y), y t = y) 
neue Veränderliche in die Gleichung der Curvenschar a = 0 ein 
führen. Sie gehe dadurch über in 
c>iOi,2/i> a , h ) = 0. 
Die Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen x l und y x : 
i li ii li 
Dififgl. 
zweit. Ordii. 
deren Integralcurven diese Schar giebt, wird erhalten durch Elimination 
von a, ~b aus den drei Gleichungen 
da, ~ d 2 oo 
(!') 
a l {x iì y l ,a,ì)) = 0, 
0, 
0, 
in denen bei der Differentiation die Grösse y x als Function von x x 
aufzufassen ist. 
Andererseits können wir auch direct in (1) die neuen Veränder- Einführung 
liehen X x ,y x einführen. Dadurch geht das Gleichungensystem (1) über in: ““¿ ei e ^g er 
(1"\ fl ( v n . n M — 0 dc ° l dXi — 0 d * ai ( dx A 2 -i- do)l d * x - 1 — n 
Die Elimination von a und h aus dem Gleichungensysteme (1") liefert 
dann diejenige Differentialgleichung zweiter Ordnung 
in eine 
Dififgl. 2. O. 
/ dy 1 d?y^ 
0, 
in welche die Gleichung £1 — 0 durch die Einführung der neuen Ver 
änderlichen x x , y x übergeht. Aber offenbar deckt sich das Gleichungeu- 
system (!') mit dem Gleichungensystem (1"), und daraus folgt: