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Kapitel 16, §§ 5, 6. 
Verkürzte 
lineare 
Diffgl. 2. O 
In der That brauchen wir zu dem Zweck nur linear in zy — dy 
anzunehmen. Dann haben wir nämlich 
(21) zy' — z"y + k(x) (zy — dy) + ft(aj) = 0. 
Der Vergleich von (19) mit (21) giebt wegen der Identität (20): 
(22) 1 = X x (x), g = z{x) X 0 (x). 
Da (21) die Form 
+ A(u)v + = 0 
hat und dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in u, v 
ist, so ergiebt sich in bekannter Weise (vgl. 5. Beispiel des § 3, 
8. Kap.); 
v — zy — dy = e f Xdx ^—J‘g,e^' Xdx dx -j- aj 
oder nach (22): 
zy — dy = e~f Xldx [—■J*zX Q ef Xldx dx -f- a). 
Dies ist eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen x und y, 
die, weil sie Uf = z(x) gestattet, linear sein muss (vgl. das citierte 
Beispiel), was auch wirklich der Fall ist. Sie giebt also integriert 
y = e [fe~S Xidx [—fzX Q eS Xldx dx + a) + fe) . 
5. Beispiel: Die sogenannte verkürzte lineare Differentialgleichung 
■ zweiter Ordnung 
y" + X 1 {x)y'+X{x)y = 0 
gestattet offenbar jede Transformation 
rp ■ ■ ■ rp 
tAj-t tAy . 
Vi = cy, 
also auch die infinitesimale 
TT r df 
u f=y»-y 
Sie kann daher auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zurück 
geführt werden. Bei dem jetzigen üf ist u = x und wegen 
TT r /• df , / df 
v f=yj- y + y h 
auch v = — zu setzen. Nun ist 
y 
dv 
w = = 
du 
yy 
Die vorgelegte Differentialgleichung muss auf die Form 
äü - ®( M - ») = 0 
reducibel sein. In der That geht sie, wenn