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Kapitel 16, § 6.
ist eine Differentialinvariante (vgl. S, 284).
Theorem 37: Gestattet eine vorgelegte Differentialgleichung
zweiter Ordnung zwischen x und y: £i(x, y, y, y”) = 0 eine be
kannte infinitesimale Transformation in x, y, so kann man
ihre Integration leisten durch die Integration einer Differen
tialgleichung erster Ordnung in x, y, eine darauf folgende Qua
dratur, die alsdann auszuführende Integration einer zweiten
Differentialgleichung erster Ordnung in zwei Veränderlichen
nnd schliesslich noch eine Quadratur.
Später wird, wie wir schon bemerkten ; die Integration von
ß == 0 auf die einer Differentialgleichung erster Ordnung und Qua
dratur zurückgeführt werden.
Hervorheben wollen wir noch, dass die Methode des vorigen Para
graphen, bestehend in der Verwertung einer Invariante v von JJ'f
noch einen gewissen Grad von Beweglichkeit besitzt. An Stelle von
v nämlich kann offenbar jede Function von u und v, die v wirklich
enthält, benutzt werden. Es gereicht dies der Methode zum Vorteil,
denn man ist dann in der Lage, unter den verschiedenen Functionen v
eine solche auszuwählen, deren Benutzung am bequemsten zum Resul
tate führt. So hätten wir im vorigen Paragraphen bei der Integration
der linearen Differentialgleichung (4. Beispiel) an Stelle von
V = zy — z y
irgend eine Function von u und v, also von x und zy — z y benutzen
df , ,
können, z. B. auch — z ^ ^ z • Die damals benutzte Function v
aber führt am bequemsten zum Ziele.
Diffgi. zweit. Schliesslich machen wir noch auf den wichtigen Umstand aufmerk -
Ord., die . _ °
kein® inf. sam, dass nicht jede Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen x und y
lassen, eine infinitesimale Transformation in x, y gestattet, während, wie wir
wissen, jede Differentialgleichung erster Ordnung immer eine solche,
ja unendlich viele zulässt (vgl. Satz 8, § 4 des 6. Kap.). Z.B. gestattet:
y" — & — e~y' — xy — 0
keine infinitesimale Transformation. Dies ist leicht nach Theorem 35
des § 3 einzusehen. In dem damals gegebenen Kriterium wäre nämlich
co eee e y ' -}- e~y' -J- xy
zu setzen. Alsdann lautet die Bedingung: