Andere Integrationsmethode, weitere Ausführungen, Beispiele. 
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L i e, Differentialgleichungen. 
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(Vy — Hx — 3| y y) {&' + e~y' + xy) 
— rix — (rj x + {riy — £*) y — |^' 2 ) (e^— c-»') = 0. 
Die liier nicht mitgeschriebenen Glieder sind frei von y oder mit y 
oder y' 2 behaftet und enthalten ausserdem nur die Diflferentialquotienten 
von £ und rj. Diese Relation soll für jedes x, y, y bestehen. Da | 
und 7] andererseits nur x, y enthalten, so resultieren offenbar zunächst 
die beiden Bedingungen: 
% — 2| x — 3l y y = 0, 
V* + (% ~ %*)y ~ % y* = °> 
deren erste liefert ly = 0, ^ y = 2| XJ deren zweite rj x — 0, % — | x , 
d. h. es ist |a, = 7\ y = 0 und £ und y sind Constanten. Nun schrumpft 
unsere Relation zusammen auf 
\y -f- rjx = 0 
d. h. | = 77 = 0. Es giebt demnach keine infinitesimale Transfor 
mation 1-j- rj ^ in x, y, welche die Differentialgleichung: 
y" — e y> — e~y' — xy — 0 
invariant lässt. 
Der analytische Grund dafür, dass es zwar stets infinitesimale 
Transformationen giebt, welche eine vorgelegte Differentialgleichung 
erster Ordnung invariant lassen, dagegen nicht stets eine solche, die 
eine vorgelegte Differentialgleichung zweiter Ordnung invariant lässt, 
ist leicht einzusehen. 
Dafür nämlich, dass die Differentialgleichung erster Ordnung 
y = 
Yjx, y) 
X(x, y) 
= <p{x,y) 
die infinitesimale Transformation 
Kriterium: 
+ V 
df 
dy 
gestattet, ergab sich das 
— X 
H 
d X 
dy 
+ S 
dx , dx 
dx ^ dy 
Xp- 
dx 
dy 
dy 
+ 
dY dY 
dx ^ dy 
(vgl. § 2 des 6. Kap.) oder: 
V* + (Vv ~ %*)<P ~ — 
Es enthält dies nur x und y, nicht y. Nimmt man also £ irgendwie 
an, so ist dies eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für rj, 
welche sich stets erfüllen lässt. Dagegen enthält das Kriterium des 
Theorems 35 des § 3 für die Invarianz von 
y" — y, y) = 0