Andere Integrationsmethode, weitere Ausführungen, Beispiele. 
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Wir wollen nunmehr noch einige Beispiele zu den Entwickelungen 
dieses Kapitels überhaupt gehen. 
1. Beispiel: Die oo 2 Geraden der Ebene sind die Integralcurven Beispiele, 
der Differentialgleichung 
y = o. 
Wir fragen nach allen infinitesimalen Punkttransformationen, welche 
diese Differentialgleichung invariant lassen, also jede Gerade der Ebene 
wieder in eine Gerade überführen, d. h. nach allen infinitesimalen j)ro- pi ^^ lte ^ rf 
jectiven Transformationen der Ebene. 
Nach Theorem 35 des § 3 haben wir, weil in unserem Falle 
co = 0 ist, £ und rj der Bedingung zu unterwerfen: 
%yyV 3 ~f~ (Vyy 2%xy) y “J“ (ßVxy %xx) y Vxx :==: 9. 
Sie zerfällt, da £ und tj nur x und y enthalten sollen, in die vier 
einzelnen: 
ijy 9, Vyy 2 i^xy 0, 2 7j X y %>xx 9, rjxx 9. 
Die erste und letzte lehren, dass | und rj die Form haben: 
I = Xy + X 0 , rj — Yx -f- Y 0 , 
wo X, X 0 nur x und Y, Y 0 nur y enthalten. Die beiden mittleren 
Bedingungen lassen sich einmal integrieren und geben: 
% == X 1 (x), % x 2r\y — Y 1 (y), 
sodass 
3 $ x = -2X 1 -Y 1 , 3 Vy =-2Y 1 -X 1 
wird. Vergleichen wir dies mit den obigen Ausdrücken für | und ij, 
so kommen die Forderungen: 
3X'y + 3X 0 '=-2X 1 -Y 1 , 
3Y'x + 3Y 0 '= -2Z X -X t . 
In der ersten kommt y links linear und rechts nur in Y i vor. Dem 
nach ist Y x linear in y und also von der Form 
Y 1 = — 3 cy — 3 d, 
wo c und d constant sind. Ganz analog wird 
Z x = — 3 ax - 36. 
Nunmehr hat y in der ersten unserer beiden Bedingungen links den 
Coefficienteu 3X', rechts 3 c, daher ist 
X' = c und analog Y' — a, 
also 
X = ex + y, Y = ay + cc. 
Jetzt liefern unsere Forderungen noch: