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Kapitel 16, § 6. 
X 0 ' = 2ax -f- 2b -f- d, 
Y 0 '=2cy + 2d + b, 
also: 
X 0 = ax 2 -f- (2h + d)x + ß, 
Y 0 = cy 2 + (2cl b)y -f- d. 
Wir haben also zu setzen: 
l == (cx + y)y + ax 2 + (2b + d)y + ß, 
rj = (ay -f- ci)x -f- cy 2 -f- (2 d + b)x -J- à. 
Bezeichnen wir die Constanten anders, so finden wir folglich, dass 
jede infinitesimale projective Transformation der Ebene die Form hat: 
Uf= ( a + cx + dy -f hx 2 + Tcxy) || + 
+ Q> J rex + gy + hxy + ly 2 ) || • 
Sie enthält acht willkürlich annehmbare Constanten, setzt sich also 
linear mit arbiträren constanten Coefficienten aus den acht besonderen 
zusammen: 
df 
dx’ 
d£ df_ 
dy’ X dx 7 
2 df . df 
x 1 -?d- -f- xy 
d x 
dy 
df df 
dx’ x dy’ 
df I 2 
X yj~x + y 
df 
y dy’ 
K. 
dy 
Man vergleiche hiermit die in § 4 des 4. Kap. über die infinitesimalen 
projectiven Transformationen gemachten Bemerkungen. Die jetzige 
Ableitung hat den Vorzug, dass sie keinerlei Sätze aus der projectiven 
Geometrie entlehnt. 
2. Beispiel: Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ord 
nung zwischen den Coordinaten x, y in der Ebene definiert oo 2 Curven. 
Wenn x lf y x die Coordinaten des zum Punkte (x, y) gehörigen Krüm 
mungsmittelpunktes einer Integralcurve sind, so drücken sich bekanntlich 
x x und y x durch x, y, y y" aus, und umgekehrt lassen sich y und %j" 
durch x x und y x ausdrücken. Demnach können aus einer vorgelegten 
Differentialgleichung 
y, y, y") = o 
y und y" entfernt und dafür x x und y x eingeführt werden. Die Inte- 
gralcurven sind alsdann definiert durch eine gewisse Relation zwischen 
den Coordinaten der Curvenpunkte (x, y) und ihrer Krümmungsmittel 
punkte (x x , y x ). Unter Umständen kann man aus dem geometrischen 
Sinn dieser Relation ohne weiteres erkennen, dass die Curvenschar 
eine bekannte infinitesimale Transformation gestattet und die Inte 
gration also nach unseren Regeln zu vereinfachen ist. Natürlich kann