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Kapitel 16, § 6, Kapitel 17, § 1. 
tesimale Translation • Sie ist mithin, geschrieben in x, y, frei 
von y, also von der Form: 
äy 
dx 
y) = 0. 
Demnach: Ist eine Curvenschar in der Ebene durch eine Delation 
zwischen der Äbscisse, der Tangentialneigung und der Krümmung im all 
gemeinen Curvenpunkte definiert, so verlangt ihre Bestimmung nur die 
Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung und eine Quadratur. 
Sei & der Winkel, den der Strahl von 0 nach dem Krümmungs 
mittelpunkte mit der x-Axe bildet. Es bestehe eine Beziehung 
ß(<p, r, &) = 0 
zwischen den drei Winkeln cp, t, 0. Eine Curve möge also dieser 
Relation genügen. Vergrössern wir dieselbe vom Anfangspunkt aus, 
so bleiben cp, x und @ ungeändert, d. h. auch die neue Curve erfüllt 
die Relation. Demnach gestattet die Differentialgleichung aller der 
artigen Curven die infinitesimale Ähnlichkeitstransformation 
df 
dx 
X rd- + y 
K 
dy 
Die Grössen cp = arctg ~ und u — lg ]4r 2 -f- y 2 sind canonische Ver 
änderliche derselben. Wenn wir also die Differentialgleichung in cp 
und u schreiben, so wird sie von der Form: 
du 
dcp 
&(% = 
wo u = ^ ist. Also sehen wir: Wird eine Schar von oo 2 Curven 
durch eine Delation zwischen der Dichtung des Dadiusvectors eines all 
gemeinen Curvenpunktes, der Dichtung der Tangente desselben und der 
Dichtung des Dadiusvectors des zugehörigen Krümmungsmittelpunktes defi 
niert, so verlangt ihre Bestimmung nur die Integration einer Differential 
gleichung erster Ordnung und eine Quadratur. 
Kapitel 17. 
Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, welche mehrere 
infinitesimale Transformationen gestatten. Gruppen von infinitesimalen 
Transformationen. 
Im vorigen Kapitel entwickelten wir eine Integratioustheorie einer 
Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer bekannten infinitesi 
malen Transformation. Nun aber ist es wohl möglich, dass eine solche 
Gleichung mehrere bekannte infinitesimale Transformationen gestattet,